[CSP-S模拟测试]:异或（数学）

Posted 2021-03-24 wzc521

题目描述

给定$L,R$，我们希望你求出：
$$sumlimits_{i=L}^Rsumlimits_{j=L}^R(ioplus j)$$
其中这里的$oplus$表示异或运算。
答案对$10^9+7$取模。

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输入格式

第一行一个整数$T$，表示数据组数。
接下来$T$行，每行两个整数$L,R(0leqslant Lleqslant Rleqslant 10^9)$，描述一组数据。

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输出格式

每组数据输出一行一个整数，表示答案。

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样例

样例输入：

2
1 2
0 1023

样例输出：

6
536346624

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数据范围与提示

样例解释：

第一组数据：$1oplus 1=2oplus 2=0,1oplus 2=3$。

数据范围：

对$100\%$的数据，$Tleqslant 50$。
$ullet$子任务$1$（$20$分）：保证$L,Rleqslant 1,000$。
$ullet$子任务$2$（$30$分）：保证$(R−L)leqslant 10^6$。
$ullet$子任务$3$（$10$分）：保证$L=0,R=2^k−1$。
$ullet$子任务$4$（$40$分）：无特殊限制。

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题解

又没打正解，讲一下我的做法。

其实答案就是二进制位下每一位$1$的个数乘每一位$0$的个数乘$1<<$当前位数。

那么考虑如何快速求出每一位$1$和$0$的个数。

把每一个数拆成二进制位，如下$downarrow$

0:0000
1:0001
2:0010
3:0011
4:0100
5:0101
6:0110
7:0111

那么我们会惊喜的发现第$i$位会呈一个$2 imes i$的循环节，先是$i$个$0$，之后是$i$个$1$。

算出$0sim R$中$0$和$1$的个数再减去$0sim L$的即可，这样就能算出每一位$0$和$1$的个数了，也就求出了答案。

时间复杂度：$Theta(30 imes T)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
long long L,R;
long long ans;
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		ans=0;
		scanf("%lld%lld",&L,&R);
		for(long long i=1;i<=30;i++)
		{
			long long flag=(R/(1<<i)-(L-1)/(1<<i))<<(i-1);
			if(R%(1<<i)-(1<<(i-1))+1>0)flag+=R%(1<<i)-(1<<(i-1))+1;
			if((L-1)%(1<<i)-(1<<(i-1))+1>0)flag-=(L-1)%(1<<i)-(1<<(i-1))+1;
			ans=(ans+flag*(R-L+1-flag)%mod*(1<<i)%mod)%mod;
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}

---

rp++