CF1163E Magical Permutation线性基，构造

Posted 2021-03-24 athousandmoons

题目描述：输入一个大小为(n)的正整数集合(S)，求最大的(x)，使得能构造一个(0)到(2^x-1)的排列(p)，满足(p_ioplus p_{i+1}in S)

数据范围：(n,S_ile 2^{18})

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什么？NTF在很多年前就把这东西给切了？

首先要把(S)缩成一个大小为(x)的线性无关组，而且每个数(<2^x)，这样就可以构造出(p)了。（之后再说）

直接丢进线性基里就可以了吗？不行，应该是把(<2^x)的数全部加进去之后，看是不是填满了（有(x)个数），填满了就可以。

那现在的问题是怎么构造(p)，发现每个(d_i=p_ioplus p_{i+1}in S)，所以(p_i)是由(S)的子集异或出来的，而(S)是线性无关组就能保证异或出来的两两不同（恰有(2^x)个数）且无法更大。

所以就要构造(S)的子集构成的序列，使得相邻两个只差一个元素。有一个很妙的方法，先递归到两边分别计算（([0,2^{x-1}))和([2^{x-1},2^x))），然后给右半边异或上(S_x)就可以满足这个条件了。

#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int
using namespace std;
const int N = 1 << 18;
int n, m, k, cnt, S[N], ans[N], x[19], a[19];
inline void insert(int val){
    int tmp = val;
    for(Rint i = 18;~i;i --)
        if((val >> i) & 1){
            if(x[i]) val ^= x[i];
            else {x[i] = val; a[i] = tmp; ++ cnt; return;}
        }
}
inline void dfs(int dep){
    if(dep == -1) return;
    dfs(dep - 1); ans[++ m] = a[dep]; dfs(dep - 1);
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(Rint i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d", S + i);
    sort(S + 1, S + n + 1);
    for(Rint i = 1, j = 1;j < 19;j ++){
        while(i <= n && S[i] < (1 << j)) insert(S[i ++]);
        if(cnt == j) k = j;
    }
    printf("%d
", k);
    dfs(k);
    for(Rint i = 0;i < (1 << k);i ++){
        if(i) ans[i] ^= ans[i - 1];
        printf("%d ", ans[i]);
    }
}