异或序列 [set优化DP]

Posted 2021-03-24 morning-glory

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(mathcal{Description})
有一个长度为 (n)的自然数序列 (a)，要求将这个序列分成至少 (m) 个连续子段
每个子段的价值为该子段的所有数的按位异或
要使所有子段的价值按位与的结果最大，输出这个最大值

(T)组询问
(Tleq 10,n,mleq 1000,a_ileq 2^{30})
(mathcal{Solution})
实际上数据范围可开大很多

我们贪心的一位一位的确定最终答案，即看当前考虑的位能否为(1)
记(s_i)表示前(i)个数的异或和，(igoplus)表示异或
设当前考虑到了第(b)位
令(res=ans|(1<<b))
一段区间([j+1,i])如果是一个合法的区间，可以得到
(left(s_iigoplus s_j ight)&res=res)
于是我们得到了一个(n^2log)的(DP)方程
(f_i=max{f_i,f_j+1})其中(left(s_iigoplus s_j ight)=res)
枚举位是(log)的，这样就可以(AC)此题了

实际这个(DP)可以进一步优化
(left(s_iigoplus s_j ight)&res=res)可以推出
(left(s_i & res ight)igoplus left(s_j& res ight)=res)
(Rightarrow s_i & res=left(s_j& res ight)igoplus res)
即要将(s_i)到(s_j)这段作为一个子段必须满足上面的条件
因为题目是至少(m)段，所以分的越多越好
则我们可以考虑完(s_i)的最优答案后将(s_iigoplus res)作为第一关键字存进(set)
(f_i=find(s_iigoplus res))
这样一次转移就是(log)的
复杂度为(nlog^2)

(mathcal{Code})

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年10月26日 星期六 09时18分19秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <cstring>
#include <set>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int maxn = 2003;
//{{{cin
struct IO{
    template<typename T>
    IO & operator>>(T&res){
        res=0;
        bool flag=false;
        char ch;
        while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')   flag|=ch=='-';
        while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
        if (flag)   res=~res+1;
        return *this;
    }
}cin;
//}}}
int n,m,T,ans;
int a[maxn],s[maxn];
set < pair<int,int> > v;
set < pair<int,int> > :: iterator it,nx;
//{{{solve
void solve (int x)
{
    int res=ans|(1<<x);
    bool flag;
    v.clear();
    for (int i=1;i<=n;++i){
        int val=s[i]&res;
        v.insert(mp(val,0));
        nx=it=v.lower_bound(mp(val,0));
        ++nx;
        while (nx!=v.end()&&nx->first==val){
            v.erase(it);
            it=nx,++nx;
        }
        if (it->second==0){
            if (val==res){
                v.insert(mp(val^res,1));
                if (i==n)   flag=it->second+1>=m;
            }
        }
        else{
            v.insert(mp(val^res,(it->second)+1));
            if (i==n)   flag=it->second+1>=m;
        }
    }
    if (flag)   ans=res;
}
//}}}
int main()
{
    cin>>T;
    while (T--){
        cin>>n>>m;
        ans=0;
        for (int i=1;i<=n;++i){
            cin>>a[i];
            s[i]=s[i-1]^a[i];
        }

        for (int i=29;~i;--i)   solve(i);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

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