CF1247D Power Products 暴力+优化

Posted 2021-03-24 zengzk

题意

给定数组(a(left| a ight|leq 10^5))和整数(k(2leq k leq 100))，问满足一下条件的二元组(<i,j>)的数目：

• (1 leq i <jleq n)
• (exist x,a_i cdot a_j=x^k)

解题思路

其实就是求
[ sum_{i=1}^{n-1}sum_{j=i+1}^n left [ a_i cdot a_j=x^k ight] ]
把(x)提出来，式子变为
[ sum_{i=1}^nsum_{x=1}^{x^kleq10^{10}} cnt_{x^k/a_i},其中cnt_j表示当前j出现的次数 ]
这样求的复杂度是(O(n10^{frac{10}{k}}))，在(k geq 3)的时候是足够优秀的，所以需要特判一下(k=2)的情况。

如果将整数看成多个素数的乘积，即(n=Pi_i p_i^{x_i})

那么两个整数相乘的结果是平方数(Leftrightarrow)对应素数的幂次应该同奇偶

所以用一个bitset表示，用map记录一下，这个问题就解决了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
const int cntp=1e4+5; //1e5内素数的个数，一开始bitset开1e5的大小MLE了
unordered_map<bitset<cntp>,int>mp;
int n,m,k,a[maxn],cnt[maxn],p[maxn],tot;
ll ans,x[maxn];
inline ll qp(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline bool check(int x){
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
        if(x%i==0)return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    
    if(k==2){
        
        for(int i=2;i<maxn;i++)if(check(i))p[++tot]=i;
        
        bitset<cntp>b;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            b.reset(); b.set(0);
            ll tmp=a[i];
            int cnt=0;
            for(int j=1;j<=tot;j++){
                while(tmp%p[j]==0){++cnt; tmp/=p[j];}
                if(cnt&1)b.set(j);
                cnt=0;
                if(tmp==1)break;
            }
            ans+=mp[b];
            mp[b]++;
        }
    }
    else{
        for(ll i=1;;i++){
            x[i]=qp(i,k);
            if(x[i]>=1e10){
                m=i;
                break;  
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(a[i]>x[j])continue;
                if(x[j]%a[i]==0 && x[j]/a[i]<maxn){
                    ans+=cnt[x[j]/a[i]];
                }
            }
            ++cnt[a[i]];
        }
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}