川大新生杯——欧拉筛

Posted 2021-03-24 iamiron-man

mod的一些性质

(a mod n) (b mod n)=(ab) mod n

((a mod n)(b mod n)) mod n=(ab) mod n

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。

如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。

川大新生杯——模板筛

lglg最近爱上了炒股，他想在股票市场内买一些股票。

现在有编号为1，2，3，...，100000000的100000000支股票，每个股票的价值等于其编号的阶乘(例如编号为5的股票的价值就是120)。

lglg是一个很挑剔的人，他只喜欢编号为质数的股票，但他很有钱，因此他希望买下所有编号小于等于N(1<=N<=1e8)并且编号为质数的股票，请你帮他算一算这些股票的价值之和。

由于价值和很大，他希望你能告诉他价值之和对P(1e3<=P<=1e5)取模后的值。

输入描述:

输入包含多组数据 第一行是一个正整数 T(1<=T<=1000)，代表数据的组数。每组数据只有一行，包含两个正整数 N 和 P 数字之间用空格隔开，其代表的含义及范围已在题面中给出。

输出描述:

每组数据输出一行，表示lglg希望买下的所有股票的价值之和对P取模后的值

示例1

输入

2
5 1001 
20 1001  

输出

128
86 

欧拉筛和mod的运用能让跑起来贼快。

mod：

1、阶乘的时候比mod的数大了肯定就永远是零了，不用算了，所以比P大的肯定是零了，阶乘和对p取余，那阶乘对P取余岂不是更满足了，所以欧拉筛只要筛1e5以下的就行，不用1e8

2、每个组数据只算算一遍阶乘，遇到素数就算和，不是素数不算，但阶乘（和mod）还在跑，循环结尾到n，要是到mod的p了也不用跑了，后面必定已经都零了

欧拉筛：打表从2筛到需要的最大，每个合数被它的最小质因子筛出去，prime【0】用来存储一共多少，对于visit[i*prime[j]] = 1 的解释： 这里不是用i的倍数来消去合数，而是把 prime里面纪录的素数，升序来当做要消去合数的最小素因子。
打表观察来理解 ：

发现i在消去合数中的作用是当做倍数的。
对于 i%prime[j] == 0 就break的解释 ：当 i是prime[j]的倍数时，i = kprime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子 ：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
bool visit[100010];
int prime[100010];
void oulashai()
{
    memset(visit,0,sizeof(visit));
    for (int i=2;i<=100000;i++)
    {
        if (!visit[i])
          prime[++prime[0]]=i; 
        for (int j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]<=100000;j++)
        {
            visit[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
              break;
        }
    }
}

int main()
{
  //  freopen("test.in","r",stdin);
 //     freopen("test.out","w",stdout);
    int t,n,p;
    oulashai();
    cin>>t;
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        long long sum=0,jc=1;
        scanf("%d%d",&n,&p);
        for (int j=2;j<=min(n,p);j++)
        {
            jc=(jc*j)%p;
            if (!visit[j])
              sum=(sum+jc)%p;
        }
        printf("%lld
",sum);
    }
}