Atcoder Regular Contest 060 F题第一问答案证明

Posted 2020-11-16 mleautomaton

一切的开始

令 (x) 为字符串，(p) 为正整数。如果对于满足 (0le i<|x|?p) 的任何整数 (i) 满足 (x[i]=x[i+p])，则 (p) 称为 (x) 的周期。(x) 的最小周期表示为 (per(x))。例如，(per(abcabcabcab)=3)。

令 (N) 为输入字符串 (w) 的长度。 情况划分如下：

（a）如果 (w) 是一个好的字符串（例如 (w=ababa)）
（b）当 (per(w)=1) 时（例如 (w=aaaaa)）
（c）其他情况（例如 (w = abcabcabc)）

在（a）的情况下，最佳表达明显为 (1)，最佳表达的为 (1)。
在（b）的情况下，最佳表达为 (N)，最佳表达的为 (1)。
在情况（c）中，我们可以证明最佳表达为 (2)（请参见下面的定理 (5)）。

定理 2

由 ( ext{KMP}) 或者 ( ext{Z-Algorithm}) 可知，如果正整数 (p,q) 是字符串 (x) 的周期，且 (p+q-gcd(p,q)le |x|)，则 (gcd(p,q)) 也是 (x) 的周期。

引理 3

令 (x) 为非空字符串，以下两个是等效的。

(i) (x) 不是好的字符串

(ii) (|x|/per(x)) 为 (2) 或更大的整数。

首先，如果 (ii) 成立，那么 (i) 肯定成立，所以在下文中 (i) 就是 (ii) 。

如果 (x) 不是一个好的字符串，(|x|/per(x)ge 2) 从定义来说显而易见。接下来我们只需要证明 (|x|/per(x)) 是一个整数，(x) 不是一个好的字符串意味着存在一个字符串 (y) 和一个整数 (kge 2)，使得 (x) 是 (y) 重复 (k) 次后获得的字符串。令 (p=per(x),q=|y|)，则 (ple q=|x|/kle |x|/2)，由于 (p,q) 都是 (x) 的周期，且满足 (p+q-gcd(p,q)le |x|)，由定理 (2) 知，(gcd(p,q)) 是 (x) 的周期，假设 (|x|/per(x)) 不是整数，则 (q) 不是 (p) 的倍数，此时 (gcd(p,q)<p)，这与 (p=per(x)) 是 (x) 的最小周期相悖，因此 (|x|/per(x)) 是一个整数。

引理 4

令 (x) 为长度为 (2) 或更大的字符串。令 (m=|x|)。此外，令 (y=x [1...m ? 1])。如果 (x) 不是一个好的字符串，并且 (per(x) ot=1)，则 (y) 是一个好的字符串。

假设 (y) 不是一个好的字符串。令 (p=per(x),q=per(y))。根据引理 (3) 和之前的假设，(p) 是 (m) 的约数，(q) 是 (|y|=m-1) 的约数。因为 (m) 与 (m-1) 互质，因此 (p) 与 (q) 也互质，即 (gcd(p,q)=1)，此外，(ple m/2,qle(m-1)/2)，其中 (p) 也是 (y) 的周期，因此，根据定理 (2)，(gcd(p,q)=1) 是 (y) 的周期，因此从 (x[0]=x[p]) 开始，(x) 的最后 (m-1) 个字符全部变为与 (x[0]) 相同的字符，此时 (per(x)=1)，这与前提矛盾，故 (y) 是一个好的字符串。

定理 5

对于一个字符串 (w)，假设 (w) 不是一个好的字符串，并且 (per(w) ot=1)。 此时，(w)的最佳表达为 (2)。

长度为 (1) 的字符串显然是一个好的字符串。 此外，根据引理 (4)，(w[1...|w|?1]) 是一个好的字符串，因此序列((w [0],w[1...|w|-1])) 是 (w) 是最佳表达之一。 显然，(w) 没有1或更小的最佳表达。则 (w) 的最佳表达为2。