判断质数与筛质数

Posted 2021-03-24 1-0001

　　

　　一：判定质数

　　要判断一个数是不是质数，只需遍历小于等于它的所有数，如果它能被除了1和本身之外的数整除，那么它就不是质数。

很简单，暴力枚举，代码如下：

1 bool is_prime(int x)
2 {
3     if (x < 2) return false;
4     for (int i = 2; i < x ; i ++ )
5         if (x % i == 0)
6             return false;
7     return true;
8 }

但是还可以优化，对于一个数x，它有一个约数d，那么x/d也是x的约数，所以我们只需要枚举较小的一个就可以了，即d < x/d ，即我们只需枚举到√x即可。

1 bool is_prime(int x)
2 {
3     if (x < 2) return false;
4     for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
5         if (x % i == 0)
6             return false;
7     return true;
8 }

时间复杂度就从原本的O(n)降为了O(√n)。

　　　

　　    二：分解质因数

由上面，我们知道x中最多只包含一个大于√x的质因子，如果有两个就大于x了，矛盾。所以我们先枚举小于等于√x的质因子，再特判一下大于√x的质因子即可。代码如下：

 1 void solve(int n){
 2     for(int i = 2; i <= n / i ; i ++)
 3     {
 4         if( n % i == 0){
 5             int s = 0;
 6             while(n % i == 0){
 7                 n /= i;
 8                 s ++;
 9             }
10             cout << i << " " << s << endl;
11         }
12     }
13     if(n != 1)cout << n << " " << 1 << endl;
14 }

　

　　　三：（1）筛法求质数

思想是，将2~n之间的数枚举，从前往后，依次将每一个数的倍数筛掉，用一个primes数组存储质数，代码如下：

 1 void get_primes(int n)
 2 {
 3     for (int i = 2; i <= n; i ++ )
 4     {
 5         if (st[i]) continue;
 6         primes[cnt ++ ] = i;
 7         for (int j = i; j <= n; j += i)
 8             st[j] = true;
 9     }
10 }

当i = 2，循环n / 2次， 当i = 3 ，循环n / 3次。所以一共循环n / 2 + n / 3 + n / 4 + ....n / n = n(1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + ... 1 / n)，当n趋于无穷时，调和级数趋于lnn + c。

所以该算法的时间复杂度为O(nlogn)。这个复杂度是计算将每一个数的倍数筛掉的时间复杂度，而代码中的只将素数的倍数筛掉的复杂度会更低一些，为O(nloglogn)。

(1 ~ n 中有n / lnn 个素数）。

　　

　　（2）线性筛法：

 1 void get_primes(int n)
 2 {
 3     for (int i = 2; i <= n; i ++ )
 4     {
 5         if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
 6         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
 7         {
 8             st[primes[j] * i] = true;
 9             if (i % primes[j] == 0) break;
10         }
11     }
12 }

将每一个质数加入，然后该质数去筛掉该质数的倍数。当i % primes[j] == 0时，primes[j]一定是i * primes[j]的最小质因子，也一定是i的最小质因子。当i % primes[j] != 0时，说名primes[j]小于i的所有质因子，所以primes[j]也一定是primes[j] * i的最小质因子。对于一个合数x,假设primes[j]是他的最小质因子，当i枚举到x / primes[j]的时候，（x / primes[j]一定比x先枚举到）,x就会在循环内被筛掉。由于每一个数只有一个最小质因子，所以是线性的。