关于二次型在函数极值中的应用备注

Posted 2021-03-24 wdfrog

首先2次型是 x‘  A  x 这样的实值-向量函数  x=[x1,x2...xn]   ，注意A是对称的。

对于x不为0向量时，x‘ A x >0 为正定，

对于x不为0向量时,  x‘ A x <0 为负定，

对于x不为0向量时,  x‘ A x 可取正负，为不定。

 

对于任意函数 y=f(x1,x2,x3...xn) , 为求其极值或鞍点（局部或全局的),

1.求出函数的一阶导数，并令一阶导数等于0，即:

fx1=0

fx2=0

...

fxn=0

解方程组获取多个点--点集，这些点称为鞍点。

用a=(a1,a2,....an)表示其中以1个点， 另外一个点是b=(b1,b2,b3..bn)...等等，

 

将f(x)在b点做n元泰勒展开，余项R采用3阶导数表示（当然前提是函数在b点三阶可导), 如果与b点足够近，那么R将比二阶导数组成的项小（前提是收敛的)，

D=f(b+b_1)-f(b) ,  b_1是以b为基点的调整类似( x0 + delta x),这里b,b_1都是n元向量，

b_1不等于0向量（等于0向量就是b点了） D>0意味着在b点附近函数值f(x)都是增加的，所以驻点b是极小值， 另外2中情况类似。

 

令一方面f(x)在b点的n元泰勒展开的带二阶导数组成的项，正是二次型， 这里b看成常量,b_1看成变量，书上是x0+h,y0+k

而判断2次型可以通过H(黑塞矩阵)--对应上面的A,判断其实正定的那么函数在驻点取得极小值，

黑塞矩阵的定义：下图的向量x0 ，对应向量a,b