P4449 于神之怒加强版

Posted 2021-03-24 knife-rose

题目大意：

求
[sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k]

首先很套路地推出
[ret=sumlimits_{T=1}^{n}lfloorfrac{n}{T} floorlfloorfrac{m}{T} floorsumlimits_{t|T}t^kmu(frac{T}{t})]
然后我们发现，前面直接除法分块就好了，关键是后面怎么办

我们设
[f(T)=sumlimits_{t|T}t^kmu(frac{T}{t})]
很容易发现，它是一个积性函数可以线性筛，关键在于处理(prime|i)的情况

考虑莫比乌斯函数性质：对于(T)的某个质因子(p)的最高次(p^x)，有贡献的部分其实只有当(t=p^x)和(t=p^{x-1})时，因为其他情况下(mu)的值都为(0)

所以质因子(p)对答案的贡献是((p^{kx}-p^{k*(x-1)})*others)

提出(p^{k*(x-1)})得到((p^k-1)*p^{k*(x-1)}*others)

类比推出对于(p)最高次为(p^{x-1})的某个数字，其贡献为((p^k-1)*p^{k*(x-2)}*others)

所以得出：当(prime|i)时，(f(i*prime)=f(i)*prime^k)

然后就可以线性筛预处理，除法分块回答啦(???)