P4316 绿豆蛙的归宿(期望DP)

Posted 2021-03-23 zhwer

题目背景
随着新版百度空间的上线，Blog宠物绿豆蛙完成了它的使命，去寻找它新的归宿。

题目描述
给出一个有向无环图，起点为1终点为N，每条边都有一个长度，并且从起点出发能够到达所有的点，所有的点也都能够到达终点。绿豆蛙从起点出发，走向终点。 到达每一个顶点时，如果有K条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K 。 现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少？

输入格式
第一行: 两个整数 N M，代表图中有N个点、M条边 第二行到第 1+M 行: 每行3个整数 a b c，代表从a到b有一条长度为c的有向边

输出格式
从起点到终点路径总长度的期望值，四舍五入保留两位小数。

输入 #1
4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4
输出 #1
7.00

说明/提示
对于20%的数据 N<=100

对于40%的数据 N<=1000

对于60%的数据 N<=10000

对于100%的数据 N<=100000，M<=2*N

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图套期望DP入门题，考虑到整张图是一个有向DAG，可以直接使用递归或者拓扑排序进行状态转移。

状态转移方程：F[i] = ∑ F[j] / siz

其中 i -> j 有一条有向边，siz为i的出度

递归的边界为当前节点为n节点或者是已经计算用的节点（基于DAG的性质可以直接return）

可以写出代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 100007
using namespace std;
struct Edge { int t,w; };
vector<Edge> G[MAXN];
int n,m;
double f[MAXN];
inline void dfs(int u) {
    //printf("u = %d
",u);
    if (u==n || f[u]!=0) return;
    int k=(int)G[u].size();
    for (int i=0;i<(int)G[u].size();i++) {
        int v=G[u][i].t,w=G[u][i].w;
        dfs(v),f[u]+=(w+f[v])/k;
    }
    //printf("%d -> %.2lf
",u,f[u]);
}
inline int read() {
    int w=0,X=0; char ch=0;
    while (!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X; 
}
int main() {
    n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int a=read(),b=read(),c=read();
        G[a].push_back((Edge){b,c});
    }
    dfs(1),printf("%.2lf",f[1]);
    return 0;
}