欧几里得

Posted 2021-03-23 flash-plus

欧几里得

define(定义) (yygcd(a, b) = c) 为 (a, b) 的公约数。

这里的 (yygcd(a, b)) 可以理解为 (gcd(a, b))，不过在未证明求出来的公约数就是最大公约数的时候，用 (yygcd) 表示，更加严谨。

关于欧几里得定理这个东西，我在全网上也没有找到什么好的讲解。所以决定自己来写一写自己都证了好久

欧几里得的应用一般是用在求 (yygcd) 的时候用的，用辗转相除发递归求 (gcd) 。

相信大家一般都是直接用的，没有想过去证明它，认为他很显然 是吧。

我最开始也是这样以为的，但是却发现自己证了好久。 肯定是我太菜了

不多废话。。。

我就只讲一下欧几里得求 (gcd) 的证明。好像欧几里得就这个作用

先写出众所周知的公式：

(gcd(a, b) = gcd(b, a \% b))

然后不断递归就行了。

现在来证明如上等式：

令 (yygcd(a, b) = c)，

那么， (a = c * k1)，(b = c * k2) ((k1) 和 (k2) 互质)

那么， (yygcd(a, b) = yygcd(c * k1, c * k2))

(a \% b = c * (k1 \% c) * k2 = (k1 \% k2) * c)

上面这一步需要好好理解一下，如果(k1) 和 (k2)不互质的话就没有这个结论

证明如下：

原式可以展开如下 ： (c * k1 = c * k2 * t + e)

这个 (t) 可以为 (0)，而这个 (e) 就是 (a \% b) 了

(a \% b = c * k1 - c * k2 * t = c * (k1 - k2 * t)) 这里不就可以显然的看出 (a \% b) 就是 (c) 的倍数了。

再写出它需要到达的状态:

(yygcd(b, a \% b) = yygcd(c * k2, c * k1 \% c * k2))

在如上面所证，提取一个 (c)

=》 (yygcd(c * k2, c * (k1 \% k2)))

我们只需要证明这个东西和原式的 (yygcd) 相等就行。

那么，我们还需要知道的是 (k2) 和 (k1 \% k2) 互质。

那么就能保证两数的 (yygcd) 是相等的。

令 (k3 = k1 \% k2)

那么，(k1 = k2 * t + k3)

用反证法可得：

如果 (k2) 和 (k3) 不互质，那么肯定有一个会存在一个 (d);

使 (k3 = d * p3), (k2 = d * p2).

那么 (k1 = k2 * t + k3 = p2 * d * t + p3 * d = d * (p2 * t + p3))

所以，(yygcd(k1, k2) = d) 又因为 (yygcd(k1, k2) = 1)

(d) 只能等于 (1)。所以 (k3) 和 (k2) 互质。

所以 (k2) 和 (k1 \% k2) 互质。

又因为，(yygcd(a, b) = yygcd(b, a \% b)).

所以，窝们可以知道 (gcd(a, b) = gcd(b, a \% b))

证毕！QAQ

放个代码，虽然没什么用：

int gcd(int x, int y) {
    if(y == 0) return x;
    return gcd(y , x % y);
}