函数性质的综合应用[周末讲座提纲]

Posted 2020-11-16 wanghai0666

一、知识梳理

1、函数的性质：定义域，值域[极值，最值]，单调性，奇偶性，周期性，对称性，零点；

2、基本初等函数：常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数；

3、各种性质的给出方式：

单调性常用给出方式

• 1、以图像的形式给出；

• 2、题目中用文字语言直接给出；

• 3、以定义式给出；

• 4、以定义的等价变形形式【积式】给出；

• 5、以定义的等价变形形式【商式】给出；

• 6、以函数单调性的结论形式给出；

• 7、以导数的形式给出，

奇偶性常用给出方式

• 1、直接给出；

• 2、以定义式给出；

• 3、定义的变形式给出；

• 4、以图像的形式【或分段函数的形式】给出；

• 5、以奇偶性的性质应用的结论形式给出；

• 6、以整体与部分具有奇偶性的形式给出，

• 7、以图像变换为依托给出，

• 常见的奇函数：

$f(x)=kx$；

$f(x)=x^3$；

$f(x)=x^k(k为奇数)$；

$y=Asinomega x$；

$y=e^x-e^{-x}$；

$y=2^x-2^{-x}$；

$y=lnfrac{x+1}{x-1}$；

$f(x)=x+frac{k}{x}(k eq 0)$；

$g(x)=lg(sqrt{sin^2x+1}+sinx)$；

$g(x)=x^3+lg(sqrt{x^2+1}+x)$；

$f(x)=x^3pm 3sinx$

$f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)$；

• 常见的偶函数：

$f(x)=x^2$；

$y=k|x|(kin R)$；

$y=e^{|x|}$；

$f(x)=x^k(k为偶数)$；

$y=Acos omega x+k$；

$y=e^x+e^{-x}$；

$y=2^x+2^{-x}$；

$f(x)=ln(1+|x|)$；

$f(x)=frac{|x|}{x^2+1}$

周期性常用给出方式

• 1、以图像的形式给出；

• 2、以周期的定义式给出；

• 3、以周期性的结论给出；

对称性常用给出方式

• 1、以图像的形式给出；

• 2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；

• 3、以奇偶性的拓展形式给出；

• 4、以周期性+奇偶性的形式给出；

• 廓清认知，区分三种容易混淆的性质

【周期性】两个自变量的整体相加不能消掉(x)的就表现为周期性；

如由(f(x+2)=f(x))，则(T=2)，如由(f(x+2)=-f(x))，则(T=4)，

【对称性】两个自变量的整体相加能消掉(x)的就表现为对称性；

如由(f(-x)+f(x)=0)，对称中心为((0，0))，即奇函数；特殊的对称性。

如由(f(4-x)+f(x)=2)，对称中心为((2，1))，即一般的对称性，中心对称；

如由(f(-x)-f(x)=0)，对称轴为(x=0)，即偶函数，特殊的对称性；

如由(f(2-x)-f(x)=0)，对称轴为(x=1)，即一般的对称性，轴对称；

思维盲点

函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性(Longrightarrow)周期性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(2-x)=f(x))，

则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4)

• 奇偶性+周期性(Longrightarrow)对称性的变形例子
  

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

• 对称性+周期性(Longrightarrow)奇偶性的变形例子
  

如，已知函数(f(x))的周期是2，且满足(f(2+x)=f(-x))，

则由(egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow)函数(f(x))是偶函数。

二、例题选讲

例1【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(x)=) (f(2-x))，若函数(y=|x^2-2x-3|)与函数(y=f(x))图像的交点为((x_1，y_1))，((x_2，y_2))，(cdots)，((x_m，y_m))，则(sumlimits_{i=1}^m{x_i})的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

例2【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数(f(x)=lnx+ln(2-x))，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

例3【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下条件：

①对任意的(xin R)，都有(f(x+2)=f(x-2))；

②函数(y=f(x+2))是偶函数；

③当(xin(0，2])时，(f(x)=e^x-cfrac{1}{x})，

若已知(a=f(-5))，(b=f(cfrac{19}{2}))，(c=f(cfrac{41}{4}))，则(a)，(b)，(c)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

例4【2019会宁模拟】已知函数(f(x))的定义域为(R)，且在([0,+infty))上单调递增，(g(x)=-f(|x|))，若(g(lgx)>g(1))，则(x)的取值范围为【】

$A.(0,10)$ $B.(10,+infty)$ $C.(cfrac{1}{10},10)$ $D.(0,cfrac{1}{10})cup (10,+infty)$

[说明]其余讲解题目见周末定时训练03。