多项式$fft$,$ntt$,$fwt$初步

Posted 2021-03-23 2018hzoicyf

最近在学多项式和生成函数。

上课听$lnc$大神讲还是$mengbier$。

作为多项式的前置芝士，$fft,ntt$等是必学的。

在此记录一些关于$fft,ntt,fwt$的知识及例题。。。

 

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FFT：

　　应用在处理$sum _{i+j=k} f[i]*g[j]$的卷积上。

　　看网上大佬的博客，基本入了门吧。

　　自己的关于原理的一些见解：

　　　　多项式有系数表示和点值表示，两种表示方法可以相互转化。

　　　　FFT可以在$O(n*longn)$内解决多项式乘法。

　　　　具体是，点值表示的方法应用在多项式上是$O(n)$的。

　　　　那么如果能在快速时间内将多项式表示成点值，然后$O(n)$处理，再转化成多项式岂不美哉。

　　　　于是可一取单位根作为代入多项式的$x$，用分治算法处理即可。

　　板子：

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4 #define MAXN 362144
 5 using namespace std;
 6 const double PI=acos(-1);
 7 struct Cp{
 8     double x,y;
 9     Cp(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;return ; }
10     friend Cp operator +(Cp a,Cp b){return Cp(a.x+b.x,a.y+b.y); }
11     friend Cp operator -(Cp a,Cp b){return Cp(a.x-b.x,a.y-b.y); }
12     friend Cp operator *(Cp a,Cp b){return Cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x); }
13 }a[MAXN],b[MAXN];
14 int n,m;
15 int lim=1,l=-1;
16 int ys[MAXN];
17 inline void FFT(Cp *x,const int &lim,const int &type){
18     for(int i=0;i<lim;++i)if(i<ys[i])swap(x[i],x[ys[i]]);
19     for(int i=1;i<lim;i<<=1){
20         Cp tmp(cos(PI/i),sin(PI/i)*type);
21         for(int j=0,I=i<<1;j<lim;j+=I){
22             Cp w(1,0);
23             for(int k=0;k<i;++k,w=w*tmp){
24                 Cp t1=x[j+k],t2=w*x[k+i+j];
25                 x[j+k]=t1+t2,x[k+i+j]=t1-t2;
26             }
27         }
28     }
29     return ;
30 }
31 int main(){
32     //freopen("da.in","r",stdin);
33     
34     scanf("%d%d",&n,&m);
35     for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%lf",&a[i].x);
36     for(int i=0;i<=m;++i)scanf("%lf",&b[i].x);
37     n+=m;
38     for(;lim<=n;lim<<=1,++l);
39     for(int i=0;i<lim;++i)ys[i]=(ys[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
40     FFT(a,lim,1);FFT(b,lim,1);
41     for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=a[i]*b[i];
42     FFT(a,lim,-1);
43     for(int i=0;i<=n;++i)printf("%d ",(int)(a[i].x/lim+0.5));
44     puts("");
45     
46     return 0;
47 }

 

 

 

 

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NTT：

　　原理和$FFT$一样。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #define MAXN 2197152
 4 #define LL long long
 5 #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
 6 using namespace std;
 7 const LL mod=998244353;
 8 const LL G=3,inv_G=332748118;
 9 int n,m;
10 int lim=1,l=-1;
11 int ys[MAXN];
12 LL a[MAXN],b[MAXN];
13 LL qpow(LL a,LL b){
14     LL res=1LL;a%=mod;
15     for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)res=res*a%mod;
16     return res%mod;
17 }
18 inline void NTT(LL *x,const int lim,const int type){
19     for(int i=0;i<lim;++i)if(i<ys[i])swap(x[i],x[ys[i]]);
20     for(int i=1;i<lim;i<<=1){
21         const int delta=i<<1;
22         const LL tmp=qpow(type==1?G:inv_G,(mod-1)/delta);
23         for(int j=0;j<lim;j+=delta){
24             LL w=1LL;
25             for(int k=0;k<i;++k,w=w*tmp%mod){
26                 LL t1=x[j+k],t2=w*x[i+j+k]%mod;
27                 x[j+k]=(t1+t2)%mod,x[i+j+k]=(t1-t2+mod)%mod;
28             }
29         }
30     }
31     return ;
32 }
33 int main(){
34     //freopen("da.in","r",stdin);
35     
36     scanf("%d%d",&n,&m);
37     for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]);
38     for(int i=0;i<=m;++i)scanf("%lld",&b[i]);
39     n+=m;for(;lim<n+2;lim<<=1,++l);
40     for(int i=0;i<lim;++i)ys[i]=(ys[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
41     NTT(a,lim,1);NTT(b,lim,1);
42     for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=a[i]*b[i]%mod;
43     NTT(a,lim,-1);
44     LL _inv=qpow(lim,mod-2);
45     for(int i=0;i<=n;++i)printf("%lld ",a[i]*_inv%mod);
46     puts("");
47     
48     return 0;
49 }