算法概论

Posted 2021-03-23 zhai1997

1、算法与数据结构的关系：

（1）数据结构+算法=程序

数据结构是对数据的描述，算法是对数据的操作，因此：数据结构+算法=程序

算法侧重于对解决问题的方法的描述。

程序是对一个算法的具体实现。

（2）联系：

数据结构是算法设计的基础。

算法的操作对象是数据结构。

数据结构设计主要是选择数据的存储方式，算法设计是在选择的数据结构基础上设计一个好的算法。

数据结构关注的是数据的逻辑结构、存储结构、基本操作，而算法关注的是如何在数据结构基础上解决实际问题。

2、算法设计的目标：

（1）正确性：正确地执行预先规定的功能和性能要求。

（2）可使用性（用户友好性）：可以很方便地使用。

（3）可读性：易于理解。

（4）健壮性：提供异常处理，能够对不合理的数据进行检查。

（5）高效率与低存储：执行时间短的算法效率高，所需的最大存储容量低的算法好。

3、算法的重要特性：

（1）有限性：执行有限步之后结束。

（2）确定性：每一条指令无二义性。

（3）可行性：每一条运算都能精确地执行。

（4）输入性：一个算法有零个或多个输入。

（5）输出性：一个算法有一个或多个输入。

4、算法分析：

（1）时间复杂度分析：

问题规模：算法的执行时间主要与问题规模有关，它是算法执行输入量的多少，是问题大小的本质表示。如：数组的元素个数、矩阵的阶数。

基本语句：算法的基本语句是执行次数与整个算法的执行次数成正比的语句，他对算法的执行时间贡献最大（最深层循环内的语句）。

 

 

 （2）渐进符号

大O符号：f（n）=O（g（n）），f（n）是g（n）的大O，当且仅当存在正常量c和n0，使得当n>=n0时，f（n）<=c(g(n)),即g(n)是f（n）的上界。

大Ω符号：f（n）=Ω（g（n）），f（n）是g（n）的大Ω，当且仅当存在正常量c和n0，使得当n>=n0时，f（n）>=c(g(n)),即g(n)是f（n）的下界

大θ符号：f（n）=θ（g（n）），f（n）是g（n）的大θ，当且仅当存在正常量c1,c2和n0，使得当n>=n0时，c1(g(n))<=f（n）<=c2(g(n)),,即g(n)与f(n)同阶

（3）递归算法的时间复杂度分析：

 

 规模减小一倍的情况：

void mergesort（int a[]，int i，int j){
int m ;
if(i!=j) {
m=（j+i）/2;
mergesort(a,i,m);//归并排序
mergesort(a,m+1,j);
merge(a,i,j,m);//两个有序子序列的合并，非递归函数，时间复杂度为O（n）
}
}

 

 

 规模减一的情况：

#include<stdio.h>
void hanoi(int n,char A,char B,char C){//n代表  a柱子上面的盘子数量 
    if(n==1){
        printf("%c->%c
",A,C);//如果只有一个盘子，直接从  A 移动到  C 
    }else{
        hanoi(n-1,A,C,B);//将 n-1个盘子从  A 移动到  B 
        printf("%c->%c
",A,C);
        hanoi(n-1,B,A,C); //将 n-1个盘子从 B 移动到  C 
    } 
} 
main(){
    hanoi(3,‘A‘,‘B‘,‘C‘) ;
} 

 

 

 4、递归算法的空间复杂度分析

在对算法的存储空间进行分析的时候，只考虑临时变量所占的空间（形参所占用的空间不计入在内，形参所占用的空间会在调用该算法的算法中去考虑），空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用的存储空间的度量，也是问题规模n的函数。

int maxelen( int a[],int i,intj){
int mid=(i+j)/2,maxl,max2; //临时变量 
if(i<j)
{
max1=maxelem(a,i,mid);
max2=maxelem(a,mid+1,j);
return(max1>max2)?max1:max2; 
} 
else return a[i];
}