[算法模板]FFT-快速傅里叶变换
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[算法模板]FFT-快速傅里叶变换相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
[算法模板]FFT-快速傅里叶变换
感谢ZYW聚聚为我们讲解FFT~
思路
我懒,思路和证明部分直接贴链接:
代码
主要思想是利用了单位根特殊的性质(n次单位根后一半幂跟前一半幂取值相等)。只是因为式子中奇数次幂还要提出来个(omega_n^k),这个东西只要取个反就好了(即对称性:(omega_n^k=-omega_n^{k+frac{n}{2}}))。
FFT递归:
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=2e6+10;
const double pi=acos(-1.0);
struct comp{
double a,b;
};
comp operator +(comp a,comp b){return (comp){a.a+b.a,a.b+b.b};}
comp operator -(comp a,comp b){return (comp){a.a-b.a,a.b-b.b};}
comp operator *(comp a,comp b){return (comp){a.a*b.a-a.b*b.b,a.a*b.b+a.b*b.a};}
void fft(int l,comp *a,int f)
{
if(l==1) return;
comp a1[l>>1],a2[l>>1];
for(int i=0;i<l;i+=2)
{
a1[i>>1]=a[i];
a2[i>>1]=a[i+1];
}
fft(l>>1,a1,f); fft(l>>1,a2,f);
comp wn=(comp){cos(2*pi/l),f*sin(2*pi/l)},w=(comp){1,0};
for(int i=0;i<(l>>1);i++,w=w*wn)
{
a[i]=a1[i]+w*a2[i];
a[i+(l>>1)]=a1[i]-w*a2[i];
}
}
comp a[maxn],b[maxn];
int main ()
{
int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].a);
for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].a);
int l=1; while(l<=n+m) l<<=1;
fft(l,a,1); fft(l,b,1);
for(int i=0;i<l;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fft(l,a,-1);
for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].a/l+0.5));
return 0;
}
因为其运行效率过低。我们一般使用迭代FFT。
FFT迭代:
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=4*1e6+10;
const double pi=acos(-1.0);
struct comp{
double a,b;
};
comp operator +(comp a,comp b){return (comp){a.a+b.a,a.b+b.b};}
comp operator -(comp a,comp b){return (comp){a.a-b.a,a.b-b.b};}
comp operator *(comp a,comp b){return (comp){a.a*b.a-a.b*b.b,a.a*b.b+a.b*b.a};}
int rev[maxn],rp;
void get_rev(int l)//l为位数,rev[i]代表i的二进制表示颠倒(二进制位有l位,不足补0)
{
for(int i=1;i<(1<<l);i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((1&i)<<l-1);
}
void fft(int len,comp *a,int f)
{
for(int i=1;i<len;i++)
if(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);
for(int l=2;l<=len;l<<=1)//区间长度
{
comp wn=(comp){cos(2*pi/l),f*sin(2*pi/l)};
for(int i=0;i+l<=len;i+=l)
{
comp w=(comp){1,0};
for(int k=i;k<i+(l>>1);k++,w=w*wn)
{
comp t=w*a[k+(l>>1)],tmp=a[k];
a[k]=tmp+t;
a[k+(l>>1)]=tmp-t;
}
}
}
}
//a[i]表示当x=单位根的i次方时y的值
comp a[maxn],b[maxn];
int main ()
{
int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].a);
for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].a);
int l=1,cnt=0; while(l<=n+m) l<<=1,cnt++;
get_rev(cnt);
fft(l,a,1); fft(l,b,1);
for(int i=0;i<l;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fft(l,a,-1);
for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].a/l+0.5));
return 0;
}
以上是关于[算法模板]FFT-快速傅里叶变换的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章