SDOI2012 走迷宫

Posted 2021-03-23 autoint

走迷宫

Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。

N<=10000，M<=1000000，保证强连通分量的大小不超过100

Clove_unique的题解

首先考虑图是一个DAG的情况

如果除了终点之外还有出度为0的点，那么答案为INF。因为有概率不走到终点，无穷级数里面有∞。

然后令f(i)表示从点i走到终点的期望步数，那么f(i)=∑_(i,v)∈E(f(v)+1)、?out(i)，其中out(i)从点i走一条边的概率（也就是出度的倒数）。

如果图不是一个DAG的话，可以缩点之后将图变成一个DAG，对于DAG上的边直接dp，但是强连通分量里的点可以互相到达，这实际上就是列出了一些方程然后高斯消元。

CO LD inf=1e18,eps=1e-12;
CO int N=10000+10,M=100+10;
vector<int> to[N],rto[N];
LD out[N];
int pos[N],dfn,low[N];
int stk[N],top,ins[N];
int bln[N],idx;
vector<int> scc[N];

void tarjan(int u){
    pos[u]=low[u]=++dfn;
    stk[++top]=u,ins[u]=1;
    for(int i=0;i<(int)to[u].size();++i){
        int v=to[u][i];
        if(!pos[v]){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(ins[v]) low[u]=min(low[u],pos[v]);
    }
    if(low[u]==pos[u]){
        ++idx;
        int x;
        do{
            x=stk[top--],ins[x]=0;
            bln[x]=idx,scc[idx].push_back(x);
        }while(x!=u);
    }
}

bool vis[N];

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(int i=0;i<(int)to[u].size();++i){
        int v=to[u][i];
        if(!vis[v]) dfs(v);
    }
}

int in[N],tmp[N];
LD f[N],a[M][M];

void gauss(int n){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int p=i;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            if(abs(a[j][i])>abs(a[p][i])) p=j;
        if(p!=i) swap(a[p],a[i]);
        for(int j=1;j<=n;++j)if(j!=i and abs(a[j][i])>eps){
            double coef=-a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i;k<=n+1;++k) a[j][k]+=coef*a[i][k];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i][n+1]/=a[i][i],a[i][i]=1;
}

int main(){
    int n=read<int>(),m=read<int>(),s=read<int>(),t=read<int>();
    while(m--){
        int u=read<int>(),v=read<int>();
        to[u].push_back(v),rto[v].push_back(u);
        ++out[u];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) out[i]=1/out[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!pos[i]) tarjan(i);
    dfs(s);
    if(!vis[t]){
        puts("INF");
        return 0;
    }
    for(int u=1;u<=n;++u)
        for(int i=0;i<(int)rto[u].size();++i){
            int v=rto[u][i];
            if(bln[u]!=bln[v]) ++in[bln[v]];
        }
    for(int i=1;i<=idx;++i)if(i!=bln[t])
        if(!in[i]){
            puts("INF");
            return 0;
        }
    deque<int> Q(1,bln[t]);
    while(Q.size()){
        int x=Q.front();Q.pop_front();
        memset(a,0,sizeof a);
        int num=scc[x].size();
//      cerr<<"scc="<<endl;
//      for(int i=1;i<=num;++i) cerr<<" "<<scc[x][i-1];
//      cerr<<endl;
        for(int i=1;i<=num;++i) tmp[scc[x][i-1]]=i;
        for(int i=1;i<=num;++i){
            int u=scc[x][i-1];
            a[i][i]=1,a[i][num+1]=f[u];
            if(u==t) continue;
            for(int j=0;j<(int)to[u].size();++j){
                int v=to[u][j];
                if(bln[v]!=bln[u]) continue;
                a[i][tmp[v]]-=out[u],a[i][num+1]+=out[u];
            }
        }
        gauss(num);
        for(int i=1;i<=num;++i){
            int u=scc[x][i-1];
            f[u]=a[i][num+1];
            for(int j=0;j<(int)rto[u].size();++j){
                int v=rto[u][j];
                if(bln[v]!=x){
                    if(--in[bln[v]]==0) Q.push_back(bln[v]);
                    f[v]+=(f[u]+1)*out[v];
                }
            }
        }
    }
    printf("%.3Lf
",f[s]);
    return 0;
}