SPOJ: Large party

Posted 2021-03-23 iamqzh233

由polya定理$$Ans=frac{sum_{d|n}f(d)*phi(frac{n}{d})}{n}$$

$f(i)$表示不考虑旋转同构下长度为$i$的环的合法方案数。

$g(i)$表示第$i$位为男的链的方案数。

$h(i)$表示第$1$位和第$i$位都是男的链的方案数。

对于$g$数组可以$O(n)$算出来。

显然$h(i)=g(i-1)$。对于$i<=m,f(i)=2^i$，否则

$f(i)=sum_{j=0}^m (j+1)*h(i-j)$。写出$f(i+1)$的式子，两式做差可以得到$f$数组的递推公式。

$f(i+1)=f(i)+sum_{j=-1}^{m-1}h(i-j)-(m+1)*h(i-m)$。

当循环节$ileq m$的时候，该循环节全都是女会导致$f(i*j)$可能不会包含$f(i)$中的这个循环节。

此时把下标大于$m$的$f$都$+1$，最后答案$-1$

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define MOD 100000007
 4 int phi[1010];
 5 inline int Power(int x, int y) {
 6     int ret = 1;
 7     while(y) {
 8         if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % MOD;
 9         x = 1ll * x * x % MOD; y >>= 1;
10     }
11     return ret;
12 }
13 inline int get_phi(int x) {
14     int ret = 1;
15     for(int i = 2; i * i <= x; ++ i) {
16         if(x % i == 0) {
17             ret *= (i - 1); x /= i;
18             while(x % i == 0) {
19                 x /= i;
20                 ret *= i;
21             }
22         }
23     }
24     if(x != 1) ret *= (x - 1); 
25     return ret;
26 }
27 inline void init() {
28     for(int i = 1; i <= 1000; ++ i) {
29         phi[i] = get_phi(i);
30     }
31 }
32 int f[1010], g[1010], h[1010];
33 int sum_g[1010], sum_h[1010];
34 inline void solve() {
35     int n, m;
36     scanf("%d%d", &n, &m);
37     g[0] = 1, sum_g[0] = 1;
38     for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
39         g[i] = sum_g[i - 1] - (i - m - 1 > 0 ? sum_g[i - m - 2] : 0);
40         if(g[i] < 0) g[i] += MOD;
41         sum_g[i] = sum_g[i - 1] + g[i];
42         if(sum_g[i] >= MOD) sum_g[i] -= MOD;
43     }
44     h[0] = 1; sum_h[0] = 1;
45     for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
46         h[i] = g[i - 1];
47         sum_h[i] = sum_h[i - 1] + h[i];
48         if(sum_h[i] >= MOD) sum_h[i] -= MOD;
49     }
50     f[0] = 1;
51     for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
52         if(i <= m) f[i] = f[i - 1] * 2 % MOD;
53         else if(i == m + 1) {
54             f[i] = 2 * f[i - 1] - 1;
55             f[i] %= MOD;
56         }
57         if(i >= m + 1) {
58             f[i + 1] = f[i] + sum_h[i + 1] - sum_h[i - m] - 1ll * (m + 1) * h[i - m] % MOD + MOD + MOD;
59             f[i + 1] %= MOD;
60         }
61     }
62     for(int i = m + 1; i <= n; ++ i) {
63         f[i] ++;
64         if(f[i] >= MOD) f[i] -= MOD;
65     } 
66     int ans = 0;
67     for(int i = 1; i * i <= n; ++ i) if(n % i == 0) {
68         ans += 1ll * f[i] * phi[n / i] % MOD;
69         if(ans >= MOD) ans -= MOD;
70         if(i != n / i) {
71             ans += 1ll * f[n / i] * phi[i] % MOD;
72             if(ans >= MOD) ans -= MOD;
73         }
74     }
75     printf("%d
", 1ll * ans * Power(n, MOD - 2) % MOD - (m >= n ? 0 : 1));
76 }
77 int main() {
78     init();
79     int T;
80     scanf("%d", &T);
81     while(T --) {
82         solve();
83     }
84 }

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