初中|数学题目整理

Posted 2021-03-22 wanghai0666

前言

典例剖析

• 在初中阶段，常用的非负式子有二次式，二次根式，绝对值式；其实也就是分别考查(y=x^2geqslant 0)，(y=sqrt{x}geqslant 0)，(y=|x|geqslant 0)的非负性的应用，

案例1已知((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；

分析：由于((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0)，

且((x+y-3)^2geqslant 0)，(3|x-y-1|geqslant 0)，

则须满足条件(left{egin{array}{l}{x+y-3=0}{x-y-1=0}end{array} ight.)，

从而求得(x=2)，(y=1)，则(2x+y=5)；

引申1已知((x+y-3)^2+3(x-y-1)^2=0)，求(2x+y)的值；

引申2已知(|x+y-3|+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；

引申3已知((x+y-3)^2+sqrt{x-y-1}=0)，求(2x+y)的值；

引申4已知(sqrt{x+y-3}+sqrt{x-y-1}=0)，求(2x+y)的值；

引申5已知(sqrt{x+y-3}+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；

说明：以上5个引申题目的求解过程和案例题目的求解过程完全相同；

例2[平面几何]如图，在(Rt riangle ABC)中，(angle ACB=90^{circ})，(AC=3)，(BC=4)，点(D)在(AB)上，(AD=AC)，(AFperp CD)交(CD)于点(E)，交(CB)于点(F)，则(CF)的长为【】

$A、1.5$ $B、1.8$ $C、2$ $D、2.5$

分析：容易知道，(AB=5)，在(Rt riangle ADE)和(Rt riangle ACE)中，由(HL)定理可知，( riangle ADEcong riangle ACE)

故(angle DAE=angle CAE)，即(AF)为角(A)的角平分线，设(CF=x)，则(FB=4-x)

则由角平分线定理可知，(cfrac{AC}{AB}=cfrac{CF}{FB})，即(cfrac{3}{5}=cfrac{x}{4-x})，

解得(x=1.5)，故选(A)。

平面几何相关定理；

例3[平面几何]如图，正方形(ABDE)，(CDFI)，(EFGH)的面积分别为(25)，(9)，(16)，( riangle AEH)，( riangle BDC)，( riangle GFI)的面积分别是(S_1)，(S_2)，(S_3)，则(S_1+S_2+S_3)的值为________。

分析：做出如图所示的辅助线，由(angle PDE)的两个余角分别为(angle EDF)和(angle BDP)，故(angle EDF=angle BDP)，

故( riangle EDFsim riangle BDP)，又由于斜边(BD=BE)，故( riangle EDFcong riangle BDP)，

同理可证，( riangle EDFcong riangle EAN)，

或者理解为将(Rt riangle EDF)绕点(D)顺时针旋转(90^{circ})得到(Rt riangle BDP)，

将(Rt riangle EDF)绕点(E)逆时针旋转(90^{circ})得到(Rt riangle EAN)，

这样(S_2=S_{ riangle BCP}-S_{ riangle BDP}=cfrac{1}{2} imes 4 imes(3+3)-cfrac{1}{2} imes 4 imes 3=6)；

(S_1=S_{ riangle AHN}-S_{ riangle EAN}=cfrac{1}{2} imes 3 imes(4+4)-cfrac{1}{2} imes 4 imes 3=6)；

又(S_3=cfrac{1}{2} imes 3 imes 4=6)；故(S_1+S_2+S_3=18)；

例4