算法设计与分析 1.2 不一样的fibonacci数列

Posted 2021-03-22 yejifeng

★题目描述

fibonacci 数列的递推公式是F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n >= 2 且 n 为整数）。

将这个递推式改为F(n) = aF(n-1) + bF(n-2)（n >= 2 且 n 为整数）时得到的是怎样的数列。

注意，这里我们依然令 F（0）=F（1）=1。

★输入格式

输入第一行三个正整数 q, a, b。

接下来有 q 行，每行一个自然数 n。

对于50%的数据，1 <= q、n <= 1000。

对于80%的数据，1 <= q、n <= 100000。

对于100%的数据，1 <= q <= 100000,1 <= n <= 1000000000,1 <= a、b <= 1000。

★输出格式

对于操作2，输出一个整数，表示对应的元素。

★样例输入

5 4 5
2
4
8
16
32

★样例输出

9
209
1377
182
9

/*
可以使用递归或用数组+循环的方法
但是这种方法必定超时

所以必须优化，使用矩阵求法
进行公式推导： 
 f[n]        [a b]    f[n-1]     [a  b]^n-1   f[1]
       =           *          =             * 
f[n-1]       [1 0]    f[n-2]     [1  0]       f[0]

所以核心是 
[a  b]^n-1
[1  0]

现在问题转化为快速求矩阵的幂，原理如下，例如
A8 = A4*A4 = A2*A2*A4   时间降为log(n) 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int q,a,b;
const int mod=2013;

class Matrix{
private:
    int a11,a12,a21,a22; 
    
public:
    Matrix(){}
    Matrix(int a,int b,int c,int d){
        a11=a%mod;
        a12=b%mod;
        a21=c%mod;
        a22=d%mod;
    }
    Matrix operator *(const Matrix &m){
        return Matrix(a11*m.a11+a12*m.a21, a11*m.a12+a12*m.a22,
                      a21*m.a11+a22*m.a21, a21*m.a12+a22*m.a22); 
    }
    int getRes(){
        return (a11*1+a12*1)%mod; 
    }
}; 

int fib(int n){
    Matrix resM(1,0,0,1); //单元矩阵 
    Matrix M(a,b,1,0);
    while(n>0){
        if(n&1) resM = resM*M;//如果n不是偶数
        M=M*M;
        n>>=1; //n缩小2倍 
    }
    return resM.getRes(); 
}

int main(){ 
    cin>>q>>a>>b;
    
    int n;
    while(q--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",fib(n-1));    
    }
    return 0;
}