CDQ分治

Posted 2021-03-22 knife-rose

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了CDQ分治相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

分治思想

将较大规模的问题分解为规模较小的子问题，通过解决规模较小的子问题得到较大规模问题的答案

比如归并排序或者快速傅立叶变换都运用了分治思想

(CDQ)分治

~~既然加了前缀肯定和普通分治不同~~

(cdq)分治重要思想在于将问题分解为较小规模的子问题后，用一个子问题计算对另一个子问题的贡献

如果在刷题过程中遇到疑惑请回来康康上面这句话哦～

这种玄学算法没题怎么讲嘛

例题

裸题

陌上花开

名字好棒的题目啊

题目大意：有(n)个元素，第(i)个元素有(a_i,b_i,c_i)三个属性，设(f(i))表示(a_jle a_i,b_jle b_i,c_jle c_i)的(j)的数量

对于(din [0,n))，求(f(i)=d)的数量

请仔细读题~~大概只有我会读错吧~~

一个不穿衣服的三维偏序问题，考虑怎么用(cdq)分治解决它呢？

~~cdq套cdq套cdq~~

我们可以考虑先对(a_i)这一维进行排序，令整个序列关于(a_i)有序，那么我们现在已经解决掉一维了！

那么接下来怎么办呢？我们可以考虑归并排序

考虑归并排序的过程，每次将当前序列([l,r])分为([l,mid])和([mid+1,r])两个区间

由于我们已经按照(a_i)排完序了，所以我们对于([l,mid])这个区间无论怎么操作，对于([mid+1,r])这个区间来说都存在任意(a_i < a_j ,iin [l,mid],jin [mid+1,r])

所以我们可以用每个([l,mid])来更新([mid+1,r])答案

但是我们当前只满足了(a_i<a_j)，对于(b_i)和(c_i)怎么处理呢？

我们发现，我们只要按照(b_i)的大小进行归并排序就可以处理掉(b_i)

对于(c_i)，我们把([l,mid])出现的(c_i)依次插入树状数组，([mid+1,r])部分得到的贡献就可以用树状数组求得了！

具体实现：

int tl=l,tr=mid+1,to=l;
//用[l,mid]来计算[mid+1,r]的贡献
while(tl<=mid&&tr<=r)
{
    if(f[tl].b<=f[tr].b) update(f[tl].c,f[tl].w),t[to++]=f[tl++];//左边的插入树状数组
    else f[tr].val+=query(f[tr].c),t[to++]=f[tr++];//右边的加上得到的贡献
}
while(tl<=mid) update(f[tl].c,f[tl].w),t[to++]=f[tl++];
while(tr<=r) f[tr].val+=query(f[tr].c),t[to++]=f[tr++]; 
for(int i=l;i<=mid;++i) update(f[i].c,-f[i].w);//消除影响
for(int i=l;i<=r;++i) f[i]=t[i];//按b排序

(emmm)我们发现我们用这种方法需要离线，所以它只能处理可离线的问题

由于该题目一些特性，需要对(flowers)去重

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
    inline int read()
    {
        int x=0;char ch,f=1;
        for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
        if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
        return f?x:-x;
    }
    const int N=2e5+10;
    int n,cnt,up;
    struct point
    {
        int a,b,c,w,val;
        inline bool operator < (const point &t) const
        {
            if(a^t.a) return a<t.a;
            if(b^t.b) return b<t.b;
            return c<t.c;
        }
    }f[N],t[N];
    int tr[N],ans[N];
    inline void update(int x,int k)
    {
        for(int i=x;i<=up;i+=lowbit(i))
            tr[i]+=k;
    }
    inline int query(int y)
    {
        int ret=0;
        for(int i=y;i;i-=lowbit(i))
            ret+=tr[i];
        return ret;
    }
    inline void cdq(int l,int r)
    {
        if(l==r) return ;
        cdq(l,mid);
        cdq(mid+1,r);
        int tl=l,tr=mid+1,to=l;
        while(tl<=mid&&tr<=r)
        {
            if(f[tl].b<=f[tr].b) update(f[tl].c,f[tl].w),t[to++]=f[tl++];
            else f[tr].val+=query(f[tr].c),t[to++]=f[tr++];
        }
        while(tl<=mid) update(f[tl].c,f[tl].w),t[to++]=f[tl++];
        while(tr<=r) f[tr].val+=query(f[tr].c),t[to++]=f[tr++];
        
        for(int i=l;i<=mid;++i) update(f[i].c,-f[i].w);
        for(int i=l;i<=r;++i) f[i]=t[i];
    }
    inline void main()
    {
        cnt=read(),up=read();
        for(int i=1;i<=cnt;++i)
        {
            f[i].a=read(),f[i].b=read(),f[i].c=read();
            f[i].w=1;
        }
        sort(f+1,f+cnt+1);
        n=1;
        for(int i=2;i<=cnt;++i)
        {
            if(f[i].a==f[n].a&&f[i].b==f[n].b&&f[i].c==f[n].c) ++f[n].w;
            else f[++n]=f[i];
        }
        cdq(1,n);
        for(int i=1;i<=n;++i) ans[f[i].val+f[i].w-1]+=f[i].w;
        for(int i=0;i<cnt;++i) printf("%d
",ans[i]);
    }
}
signed main()
{
    red::main();
    return 0;
}

Mokia

~~诺基亚好处都有啥~~

题目大意：

给定大小的矩阵，有两种操作：

(1.)向某一点((x,y))增加(k)个人

(2.)询问某一矩形内有多少人

我们发现其实这个问题也可以转化为三维偏序问题，每个操作有三个属性((x,y,t))，即横坐标，纵坐标，操作时间

不对，你也许会问，操作(2)并不是一个点！

我们可以用一个二维差分来解决，将一个询问拆成四个，每次询问代表从以原点为左下角，((x,y))为右上角的矩形内有多少人

当然我们还需要一个标记来判断这个询问的贡献是正是负，不过这个东西并不用在(cdq)里处理～

然后就是裸体裸题了吧