裴蜀定理

Posted 2021-03-22 flash-plus

窝们来看一个小知识点：

对于一个丢番图?程 (ax + by = m;) 有解的充要是 (gcd(a, b) | m)

至于证明，我觉得大家感性理解一下就行

窝们来假设一波 ：

如果 (gcd(a,b) | m) 是个伪命题。

那么，窝们令 (c = gcd(a, b)), (a = c * k1), (b = c * k2), (m = k3 * c + k4)

那么,接下来原式可以写出这样 :

[c * k1 * x + c * k2 * y = c * k3 + k4]

对于 (c * k1 * x | c)

对于 (c * k2 * y | c)

所以 (c * k1 * x + c * k2 + y | c)

但是对于 (c * k3 + k4) 它并不是 (c) 的倍数。

代回原式可以发现：

左式显然是 (c) 的倍数(以证) 但是右式并不是 (c) 的倍数。

矛盾。所以证伪。