CF993E Nikita and Order Statistics

Posted 2021-03-22 knife-rose

题目大意：

给你一个数组 (a_{1 sim n})，对于 (k = 0 sim n)，求出有多少个数组上的区间满足：区间内恰好有 (k) 个数比 (x) 小。(x) 为一个给定的数。

(n le 2 imes 10^5)。

没见过大概想不到飞飞兔吧

考虑(n)为(10w)级别，且要求求(0sim n)的每个(k)，考虑(fft)

由于(x)是一定的，所以我们可以把小于(x)的数字变为(1)，其他变为(0)

设(s_i)为变化后序列前缀和,(f_i=sumlimits_{j=0}^{n}[s_j==i])

那么我们要求
[sumlimits_{i=k}^{n}f_i*f_{i-k}]

这个东西是不能(fft)的，对后面变化一下

[sumlimits_{i=k}^{n}f_i*f_{n-(n+k-i)}]

令(j=n+k-i)

[sumlimits_{i+j=n+k}f_i*f_{n-j}]

设(g_i=f_{n-i})

[sumlimits_{i+j=n+k}f_i*g_j]

它已经散发出毒品的香气了

不过注意当(k=0)时会重复计算左右端点，需要特判

一些细节证明先留锅，不太明白

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
    inline int read()
    {
        int x=0;char ch,f=1;
        for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
        if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
        return f?x:-x;
    }
    const int N=1e6+10;
    double pi=acos(-1.0);
    int n,tmp,limit,len;
    int a[N],pos[N],ret[N];
    int sum[N];
    struct complex
    {
        double x,y;
        complex(double tx=0,double ty=0){x=tx,y=ty;}
        inline complex operator + (const complex &t) const
        {
            return complex(x+t.x,y+t.y);
        }
        inline complex operator - (const complex &t) const
        {
            return complex(x-t.x,y-t.y);
        }
        inline complex operator * (const complex &t) const
        {
            return complex(x*t.x-y*t.y,x*t.y+y*t.x);
        }
    }f[N],g[N];
    inline void fft(int limit,complex *a,int inv)
    {
        for(int i=0;i<limit;++i)
            if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
        for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
        {
            complex Wn(cos(pi/mid),inv*sin(pi/mid));
            for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
            {
                complex w(1,0);
                for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn)
                {
                    complex x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid];
                    a[j+k]=x+y;
                    a[j+k+mid]=x-y;
                }
            }
        }
    }
    inline void main()
    {
        n=read(),tmp=read();
        for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=(read()<tmp),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        f[0].x=1;
        for(int tmp=0,i=1;i<=n;++i)
        {
            tmp+=a[i];
            ++f[tmp].x;
        }
        for(int i=0;i<=n;++i) g[i].x=f[n-i].x;
        for(limit=1;limit<=n+n;limit<<=1) ++len;
        for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
        fft(limit,f,1);
        fft(limit,g,1);
        for(int i=0;i<limit;++i) f[i]=f[i]*g[i];
        fft(limit,f,-1);
        for(int tmp=0,sum=0,i=1;i<=n;++i)
        {
            if(!a[i]) ++sum;
            else
            {
                tmp+=((sum+1)*sum)>>1;
                sum=0;
            }
            if(i==n)
            {
                tmp+=((sum+1)*sum)>>1;
                printf("%lld ",tmp);
            }
        }
        for(int i=n+1;i<=n+n;++i) ret[i]=f[i].x/limit+0.5;
        for(int i=n+1;i<=n+n;++i) printf("%lld ",ret[i]);
    }
}
signed main()
{
    red::main();
    return 0;
}