十Powell算法（鲍威尔算法）原理以及实现

Posted 2021-03-22 fantianliang

一、介绍

　　Powell算法是图像配准里面的常用的加速算法，可以加快搜索速度，而且对于低维函数的效果很好，所以本篇博客主要是为了介绍Powell算法的原理以及实现。

　　由于网上已经有了对于Powell算法的讲解，所以我只是把链接放出来（我觉得自己目前还没有这个讲解的能力），大家自己去了解。

　　放在这里主要也是为了节省大家搜索的时间。（都是我辛辛苦苦搜出来的^-^）。

二、预备知识

　　了解一维搜索算法：进退法，消去法，黄金分割法

　　阅读以下博客：https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/51088650

三、鲍威尔算法

　　具体原理阅读这里：

　　参考博客：https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/51028074

　　原理与例子（一个例子的计算过程）：https://www.docin.com/p-956696217.html

四、matlab代码实现一个简单函数的求解

　　代码来源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_743c53600100vhdn.html

　　这个代码的程序与思路很是简洁，我觉得写得很好。

　　原文代码放在这里：

　　文件：MyPowell.m　

function MyPowell()
syms x1 x2 x3 a;
f=10*(x1+x2-5)^4+(x1-x2+x3)^2 +(x2+x3)^6;
error=10^(-3);
D=eye(3);
x0=[0 0 0]‘; 
for k=1:1:10^6
    MaxLength=0;x00=x0;m=0;
    if k==1,s=D;end
    for i=1:3
            x=x0+a*s(:,i);
            ff=subs(f,{x1,x2,x3},{x(1),x(2),x(3)});
            t=Divide(ff,a);                        %调用了进退法分割区间
            aa=OneDemensionslSearch(ff,a,t);    %调用了0.618法进行一维搜索
            xx=x0+aa*s(:,i);
            fx0=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1),x0(2),x0(3)});
            fxx=subs(f,{x1,x2,x3},{xx(1),xx(2),xx(3)});
            length=fx0-fxx;
            if length>MaxLength,MaxLength=length;m=m+1;end
            x0=xx;
    end
    ss=x0-x00;
    ReflectX=2*x0-x00;
    f1=subs(f,{x1,x2,x3},{x00(1),x00(2),x00(3)});
    f2=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1),x0(2),x0(3)});
    f3=subs(f,{x1,x2,x3},{ReflectX(1),ReflectX(2),ReflectX(3)});
    if f3<f1&&(f1+f3-2*f2)*(f1-f2-MaxLength)^2<0.5*MaxLength*(f1-f3)^2
        x=x0+a*ss;
        ff=subs(f,{x1,x2,x3},{x(1),x(2),x(3)});
        t=Divide(ff,a);
        aa=OneDemensionslSearch(ff,a,t);
        x0=x0+aa*ss;
        for j=m:(3-1),s(:,j)=s(:,j+1);end
        s(:,3)=ss;
    else
        if f2>f3, x0=ReflectX;end
    end
   if norm(x00-x0)<error,break;end
        k;
        x0;
end
opx=x0;
val=subs(f,{x1,x2,x3},{opx(1),opx(2),opx(3)});
disp(‘最优点：‘);opx‘
disp(‘最优化值：‘);val
disp(‘迭代次数：‘);k

　　文件  Divide.m  ：

% 进退法
%对任意一个一维函数函数进行区间分割，使其出现“高—低—高”的型式

function output=Divide(f,x,m,n)

if nargin<4,n=1e-6;end

if nargin<3,m=0;end

step=n;

t0=m;ft0=subs(f,{x},{t0});

t1=t0+step;ft1=subs(f,{x},{t1});

if ft0>=ft1

    t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    while ft1>ft2

        t0=t1;

        %ft0=ft1;

        t1=t2;ft1=ft2;

        step=2*step;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    end

else 

    step=-step;

    t=t0;t0=t1;t1=t;ft=ft0;

    %ft0=ft1;

    ft1=ft;

    t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    while ft1>ft2

        t0=t1;

        %ft0=ft1;

        t1=t2;ft1=ft2;

        step=2*step;t2=t1+step;ft2=subs(f,{x},{t2});

    end

end
output=[t0,t2];

View Code

　　文件：OneDemensionslSearch.m

% 0.618法
function output=OneDemensionslSearch(f,x,s,r)

if nargin<4,r=1e-6;end

a=s(1);b=s(2);

a1=a+0.382*(b-a);fa1=subs(f,{x},{a1});

a2=a+0.618*(b-a);fa2=subs(f,{x},{a2});

while abs((b-a)/b)>r && abs((fa2-fa1)/fa2)>r

  if fa1<fa2

     b=a2;a2=a1;fa2=fa1;a1=a+0.382*(b-a);fa1=subs(f,{x},{a1});

  else

     a=a1;a1=a2;fa1=fa2;a2=a+0.618*(b-a);fa2=subs(f,{x},{a2});

  end

end

op=(a+b)/2;

%fop=subs(f,{x},{op});

output=op;

View Code

　　全部放到同一个工程目录里面，设置为当前目录，然后输入Powell即可运行得到结果。

　　这个代码的思路与鲍威尔算法的思路是完全符合的，而且很是简洁。