cf961GG. Partitions（组合意义+第二类斯特林数）

Posted 2021-03-22 heyuhhh

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题意：
给出(n)个元素，每个元素有价值(w_i)。现在要对这(n)个元素进行划分，共划分为(k)组。每一组的价值为(|S|sum_{i=0}^{|S|}w_i)。
最后询问所有划分的总价值。

思路：
直接枚举划分不好计算，考虑单独计算每一个元素的贡献，那么就有式子：
[ sum_{i=1}^nw_isum_{j=1}^{n-k+1}{n-1choose j-1}egin{Bmatrix} n - j \ k - 1 end{Bmatrix}j ]
观察这个式子，前面的求和式直接单独计算，后面枚举的上界则可以修改为(n)。那么就有：
[ egin{aligned} &sum_{i=0}^n{n-1choose i-1}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}i end{aligned} ]
接下来，就是表演的时刻了。
[ egin{aligned} &sum_{i=0}^n{n-1choose i-1}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}(i-1+1)=&sum_{i=0}^n frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}(i-1)+sum_{i=0}^n{n-1choose i-1}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}=&(n-1)sum_{i=0}^n {n-2choose i-2}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}+sum_{i=0}^n{n-1choose i-1}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}=&(n-1)sum_{i=0}^n {n-2choose n-i}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix}+sum_{i=0}^n{n-1choose n-i}egin{Bmatrix} n - i \ k - 1 end{Bmatrix} end{aligned} ]
然后我们现在就是要求这样一个式子：
[ sum_{i=0}^n{nchoose i}egin{Bmatrix} i \ k - 1 end{Bmatrix} ]
我们考虑将第二类斯特林数拆开：
[ egin{aligned} &sum_{i=0}^n{nchoose i}egin{Bmatrix} i \ k - 1 end{Bmatrix} =&sum_{i=0}^n{nchoose i}frac{1}{(k-1)!}sum_{j=0}^{k-1}(-1)^j{k-1choose j}(k-1-j)^i =&sum_{j=0}^nfrac{1}{(k-1)!}(-1)^j{k-1choose j}sum_{i=0}^n{nchoose i}(k-1-j)^i =&sum_{j=0}^nfrac{1}{(k-1)!}(-1)^j{k-1choose j}(k-j)^n end{aligned} ]
然后就没了。
整个推导过程第一个关键点是拆(i)，可能是因为这个(i)比较烦，所以将其拆开与前面式子合并。
第二个关键就是利用好组合意义，后面和式的意义就是将元素装入(k-1-j)个盒子的方案数，有些元素可能一个盒子都不加入。那么对于每个元素而言，就有(k-j)种选择，所以可以直接把和式化简。
然后随便搞一下就行。

还有一种更加精妙的思路，我们还是单独考虑每一个元素，但是当考虑(i)这个元素时，若(j)和(i)在同一个集合中，(j)对(i)有(w_i)的贡献。
那么对一个元素而言分两种情况考虑，一个是自己对自己的贡献，显然方案数有(egin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix})；另一个是其它元素对它的贡献，那么考虑将这个元素加入其它元素中（不可能自己单独一个集合），方案数为((n-1)egin{Bmatrix} n-1 \ k end{Bmatrix})。
那么最终一个元素的答案就为：
[ egin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix}+(n-1)egin{Bmatrix} n-1 \ k end{Bmatrix} ]
这个式子随便搞搞就行了。
代码如下（代码为第一种解法）：

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/12/12 17:06:20
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '
'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '
'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 2e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;

int n, k;
int fac[N], inv[N];
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;   
    }
    return ans;   
}
int C(int n, int m) {
    return 1ll * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}
void init() {
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;
    inv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], MOD - 2);
    for(int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}

void run(){
    init();
    int sum = 0, ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int w; cin >> w;
        sum = (sum + w) % MOD;
    }
    if(n == 1) {
        cout << sum << '
';
        return;   
    }
    for(int i = 0, d = 1; i < k; i++, d = MOD - d) {
        int res = 1ll * d * inv[i] % MOD * inv[k - 1 - i] % MOD * qpow(k - i, n - 2) % MOD * (k - i + n - 1) % MOD;
        ans = (ans + res) % MOD;
    }
    ans = 1ll * ans * sum % MOD;
    cout << ans << '
';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);;
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> k) run();
    return 0;
}