图论算法的数学模型

Posted 2021-03-22 lcyfrog

目录

• 图论算法的数学模型
  • 引入：最短路的数学形式
  • 最小割的数学形式
  • 一些没用的总结

图论算法的数学模型

今天听敦敦敦的课总结一下...

前置芝士：网络流，最小割

引入：最短路的数学形式

松弛操作：

对于一条边((u,v,w))，( ext {if}~(dis_u+w(u,v)<dis_v)~ ext{then}~dis_v=dis_u+w(u,v))

所以对于求出来的dis，有(dis_vleq dis_u+w(u,v))对吧。。。
那么这和差分约束中(x_i-x_jleq a_k)是对应的，就可以从(~j~)连到(~i~)一条权值为(~a_k~)的边
这也给了我们一个启发：如果能把要求的贡献/条件转化为图论算法要求的形式，数学问题也可以解决

最小割的数学形式

考虑对于(~01~)变量(~x~)，令(x=0)则与源点联通，(x=1)则与汇点联通

考虑边((S,x,a))，即从源点向(x)连了流量为(a)的边对最小割的贡献
那么仅当(~x~)连与汇点联通时才能算把这条边割掉的贡献，此时(x=1)

那么就可以简单地把答案表示为(a*x)

同样地，对于边((x,T,a))，答案即为(a*(1-x))

最后考虑边((x,y,a))，注意是有向边
那么这条边要被割掉仅当(x)与源点联通，(y)与汇点联通，贡献即为(a(1-x)y)

求最小割的本质就是给x赋值对吧
那么我们把要求的贡献表示成这三种形式，不就可以通过最小割算出最小的贡献了？
（最大割是np问题~）

来看一道例题吧：

ZROJ1209

放心你们找不到

说下题意：

有一个 (n×m) 的方格，一开始所有格子都是白色的，你的最终目的是把方格涂成你想要的颜色

你有三种刷的方法：

• 横着刷连续的 (k) 格，代价是 (ak+b)
• 竖着刷连续的 (k) 格，代价是 (ak+b)
• 只刷某个格子，代价是 (c)

每个格子的颜色是最后刷它的那个刷子的颜色，但是有以下几个限制：

• 每个格子最多只能被刷两次，无论这些刷子是否同色
• 每个格子不能先刷白色刷子再刷黑色刷子，因为白色染料比较特殊，这会导致格子变成灰色，但是你可以先刷黑色刷子再刷白色刷子，也可以在一开始格子是初始颜色白色时刷黑色刷子

现在你需要求出，刷出指定颜色的最小代价

有个结论:不会被横刷子涂两次，这样不是白给吗

因为最开始都是白的，我们考虑先刷黑的，再刷白的，最后刷单点，这样一定最优

设(bh[x][y])表示 (x,y)是否被横着的黑刷子刷了，(wv[x][y]) 表示是否被竖着的白刷子刷了
然后设( ext{_bv[x][y]})表示1-(x,y)是否被竖着的黑刷子刷了，( ext{_wh[x][y]})表示是否被横着的白刷子刷了
这样设是为了表示答案方便，好用最小割求解

考虑横竖刷子的代价(ak+b) ，可以把a摊到每个格子上，b算到最后一个格子
那么横着的黑刷子对每个点的贡献就是(bh[x][y]*a+b*bh[x][y]*(1-bh[x][y+1]))
其他的同理，显然符合最小割的贡献形式

考虑单点的代价，被单点修改仅当没有被刷子刷过
黑格子贡献：(c*(1-bh[x][y])*( ext{_bv[x][y]}))
又因为不能被白的刷过，贡献(inf*wv[x][y]+inf*(1- ext{_wh[x][y]}))

那么白格子单点贡献：之前涂了黑但没被涂白
(c*bh[x][y]*(1-wv[x][y])+x*(1- ext{_bv[x][y]})* ext{_wh[x][y]})
而且不能被黑刷子刷两次：(inf*bh[x][y]* ext{(1-_bv[x][y])})

然后对应连点，求最小割，就做完了

一些没用的总结

所以对于一些难抽象出图论模型的最小割题，可以转化成数学模型做，具体就是设设变量然后看看形式对不对应，变量可以设两种形式

比如有一道著名的文理分科题，你想想不就是设每个点选文还是选理，二分图染色设变量为x或1-x，贡献分别就是(ax,a(1-x))，组合的贡献就是(c(x)(1-y),c(1-x)y)这样讨论吗？