向量是什么——线性代数本质

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了向量是什么——线性代数本质相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

介绍

There is hardly any theory which is more elementary than linear algebra, in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices.
— Jean Dieudonne

线性代数在很多领域都有应用

  • 计算机科学
  • 物理
  • 电力工程
  • 机械工程
  • 统计
  • ……

学过线性代数的学生可能都会做以下计算,但他们却不知道为什么要这样计算,它们分别代表的含义是什么?学生们对于线性代数中的几何意义的理解是非常模糊的

  • matrix multiplication - 矩阵乘法
  • the Determinant - 行列式
  • cross products - 交叉乘积
  • eigenvalues - 特征值

实际上,理解线性代数的几何意义,有助于在你遇到具体问题的时候,知道用什么工具去解决它们,这些工具为什么有效,并且对产生的结果做出解释。而理解线性代数的算术意义,只能够帮你在使用这些工具的时候,完成整个计算过程。所以学习线性代数的层次关系应该是,由底向上:

几何意义 -> 算术意义 -> 应用

于是,面对线性代数问题,人们更应该把计算部分交给计算机来完成,自己则专注于概念和原理部分。

向量是什么

The introduction of numbers as coordinates is an act of violence.
— Hermann Weyl

向量是线性代数基本构成要素的根源。不同的职业对向量有不同的视角:

  • 物理系学生对向量的视角:vectors are arrows pointing in space. What defines a given vector is its length, and the direction it‘s pointing in.

  • 计算机专业同学的视角: vectors are ordered lists of numbers. 2-dimensional is the fact that the length of that list is 2.

    技术图片

  • 数学专业的同学: generalise both of these views (线性代数中所有的课题都是围绕这两种操作进行的):

    1. 两个向量相加
    2. 用一个常数和另一个向量相乘

Vector - 在坐标系中的有箭头的线段,它的末尾总在原点上,在2维空间中,向量 技术图片的第 1 个数字 技术图片 是尖端落在 技术图片 轴的长度,第 2 个数字 技术图片 是尖端落在 技术图片 轴的长度,如果落在原点的左边(技术图片 轴)和下边(技术图片 轴),则 技术图片技术图片 的值为负数;在 3 维空间中,每个向量有 3 个数(技术图片技术图片技术图片)来表示,分别是尖端落在 技术图片技术图片技术图片 轴上的长度,技术图片技术图片技术图片 同样是有符号的。

vector 相加的几何意义

向量 技术图片技术图片)和向量 技术图片技术图片)相加的示意图如下

 
技术图片
 
  1. 保持 技术图片 不动
  2. 保持 技术图片 的方向不变,将 技术图片 的末端平行移动到移动到 技术图片 的尖端
  3. 从原点到技术图片 尖端的向量即为 技术图片技术图片 的和

技术图片

向量和常量乘法的几何意义

 
技术图片
 

用一个常量乘上一个向量,意味着将向量保持在其所在的直线上,对其长度进行拉伸、压缩和反向操作,例如 技术图片 是将向量 技术图片 的长度拉升为原来的 2 倍,技术图片 是将 技术图片 压缩为原来的 技术图片技术图片 是先对 技术图片 进行反向,再将其长度拉伸为原来的 技术图片 倍,这种操作有一个术语来描绘它 —— Scaling;而其中的系数 技术图片技术图片技术图片,被称为 Scalar
技术图片

以上是关于向量是什么——线性代数本质的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线性代数的本质-03-矩阵与线性变换

线性代数本质1:向量究竟是什么

线性代数的本质-01-向量究竟是什么?

线性代数的本质与几何意义 02. 线性组合张成的空间基(3blue1brown 咪博士 图文注解版)

向量是什么?

直观详解线性代数的本质