最大公共子序列（动规）

Posted 2021-03-22 wxh-blos

问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, xm}，则另一序列Z= {z1, z2,…, zk}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 {i1, i2,…, ik}，使得对于所有j=1,2,…,k有 Xij=Zj。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。给定两个序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1, y2, … , yn}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

     问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。

      设序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……zk}。则有：

      (1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

      (2)若xm!=yn且zk!=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。

      (3)若xm!=yn且zk!=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

      其中，Xm-1={x1,x2……xm-1}，Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。

     递推关系：用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中，Xi={x1,x2……xi}，Yj={y1,y2……yj}。当i=0或j=0时，空序列是xi和yj的最长公共子序列。此时，c[i][j]=0；当i,j>0，xi=yj时，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；当i,j>0，xi!=yj时，

c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]}，由此建立递推关系如下：

 

 

#include <iostream>
using namespace std;

const int M = 7;
const int N = 6;

void output(char *s, int n);
void LCSLength(int m, int n, char *x, char *y, int **c);
void LCS(int i, int j, char *x, int **c);

int main()
{
//X={A,B,C,B,D,A,B}
//Y={B,D,C,A,B,A}
char x[] = { ‘ ‘,‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘B‘,‘D‘,‘A‘,‘B‘ };
char y[] = { ‘ ‘,‘B‘,‘D‘,‘C‘,‘A‘,‘B‘,‘A‘ };

int **c = new int *[M + 1];
for (int i = 0; i <= M; i++)
{
c[i] = new int[N + 1];
}

cout << "序列X：" << endl;
output(x, M);
cout << "序列Y：" << endl;
output(y, N);

LCSLength(M, N, x, y, c);

cout << "序列X、Y最长公共子序列长度为：" << c[M][N] << endl;
cout << "序列X、Y最长公共子序列为：" << endl;
LCS(M, N, x, c);
cout << endl;
}

void output(char *s, int n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << s[i] << " ";
}
cout << endl;
}

void LCSLength(int m, int n, char *x, char *y, int **c)
{
int i, j;

for (i = 1; i <= m; i++)
c[i][0] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
c[0][i] = 0;

for (i = 1; i <= m; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
if (x[i] == y[j])
{
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
}
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
{
c[i][j] = c[i - 1][j];
}
else
{
c[i][j] = c[i][j - 1];
}
}
}
}

void LCS(int i, int j, char *x, int **c)
{
if (i == 0 || j == 0)
{
system("pause");
return;
}
if (c[i][j] == c[i - 1][j - 1] + 1)
{
LCS(i - 1, j - 1, x, c);
cout << x[i] << " ";
}
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
{
LCS(i - 1, j, x, c);
}
else
{
LCS(i, j - 1, x, c);
}
}