扩展KMP

Posted 2021-03-21 nofind

这个算法主要靠画图理解，于是学习的时候画了不少图，正好写篇博客。

扩展KMP能解决的问题：
给定两个串(S,T)，对于S的每一个后缀(S[i...n])求和(T)的(LCP)。

设(exnxt_i)表示后缀(S[i...n])求和(T)的(LCP)，我们要做的就是求所有(exnxt_i)。

我们先对(T)处理出(nxt_i)表示(T)的后缀(T[i...m])和(T)的(LCP)，如何处理之后再说。

1.如何求(exnxt)：

假设我们已经求出了([1,i-1])的(exnxt)，我们现在要求(exnxt_i)。

我们维护(p)表示对于([1,i-1])它们在(S)上最远和(T)匹配到了哪里，用式子说就是(max_{jin [1,i-1]}(j+extnxt_j-1))，并且我们维护这是在哪个点取到的，记为(p0)。

先上一张图：

我们现在是在(p0)匹配好的时候，我们观察(i)的位置，不难发现(i)此时对应着(i-p0+1)。

我们设(L=nxt_{i-p0+1})，那么根据已知信息，即(nxt)的定义，我们能知道：
(T[1...L]=T[i+p0-1...(i+p0-1)+L-1]=S[i...i+L-1])

即下图三线相等：

这时如果(i+L-1<p)（注意不能取等，我们并不知道(p)之后的信息），那么我们实际已经求完了，此时(exnxt_i=L)。

代码非常简单（代码中(r)即为(p)）：

if(i+nxt[i-p0+1]-1<r)exnxt[i]=nxt[i-p0+1];

接下来考虑如果(i+L-1geqslant p)会怎样：

这时我们只能知道如下三条线是相等的，即：
(T[1...p-i+1]=T[i-p0+1...(i-p0+1)+(p-i+1)-1]=S[i...i+(p-i+1)-1])

于是我们让(extnxt_i)先有一个候选答案(p-i+1)之后，我们暴力匹配，不断扩展(extnxt_i)。

代码是这样的（代码中的(r)就是(p)）：

exnxt[i]=max(r-i+1,0);
while(s[i+exnxt[i]]==t[exnxt[i]+1])exnxt[i]++;

之后我们让(p0=i)，更新(p)的值（代码中的(r)就是(p)）：

p0=i,r=i+exnxt[i]-1;

感性理解的话因为(p)的增长是(O(n))的，所以整个算法的复杂度是(O(n))的。

2.如何求(nxt)：

我们发现(nxt)的定义和(exnxt)的定义十分相像，不过一个是(T)和(T)匹配，一个是(S)和(T)匹配。

于是我们用同样的方法就可以求出(nxt)：暴力算出(nxt_1,nxt_2)，之后按照1.中的方法求即可。

模板题

说来我好像是题解中第二个从1开始数数的。。。不过扶苏的代码太神仙了，我看不懂。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m;
int nxt[maxn],exnxt[maxn];
char s[maxn],t[maxn];
inline void getnxt()
{
    nxt[1]=m;nxt[2]=0;
    while(t[1+nxt[2]]==t[2+nxt[2]])nxt[2]++;
    for(int i=3,p0=2,r=p0+nxt[p0]-1;i<=m;i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0+1]-1<r)nxt[i]=nxt[i-p0+1];
        else 
        {
            nxt[i]=max(r-i+1,0);
            while(t[nxt[i]+1]==t[i+nxt[i]])nxt[i]++;
            p0=i,r=i+nxt[i]-1;
        }
    }
}
inline void getexnxt()
{
    exnxt[1]=0;
    while(s[1+exnxt[1]]==t[1+exnxt[1]])exnxt[1]++;
    for(int i=2,p0=1,r=p0+exnxt[p0]-1;i<=n;i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0+1]-1<r)exnxt[i]=nxt[i-p0+1];
        else 
        {
            exnxt[i]=max(r-i+1,0);
            while(s[i+exnxt[i]]==t[exnxt[i]+1])exnxt[i]++;
            p0=i,r=i+exnxt[i]-1;
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout); 
    scanf("%s%s",s+1,t+1);
    n=strlen(s+1);m=strlen(t+1);
    getnxt();getexnxt();
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",nxt[i]);
    puts("");
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",exnxt[i]);
    return 0;
}