POJ2182题解——线段树

Posted 2021-03-21 warframe-gauss

POJ2182题解——线段树

2019-12-20

by juruoOIer

1.线段树简介（来源：百度百科）

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，实际应用时一般还要开4N的数组以免越界，因此有时需要离散化让空间压缩。

 

2.线段树实际应用

上面的都是些基本的线段树结构，但只有这些并不能做什么，就好比一个程序有输入没输出，根本没有任何用处。

 

最简单的应用就是记录线段是否被覆盖，随时查询当前被覆盖线段的总长度。那么此时可以在结点结构中加入一个变量int count；代表当前结点代表的子树中被覆盖的线段长度和。这样就要在插入（删除）当中维护这个count值，于是当前的覆盖总值就是根节点的count值了。

 

另外也可以将count换成bool cover；支持查找一个结点或线段是否被覆盖。

 

实际上，通过在结点上记录不同的数据，线段树还可以完成很多不同的任务。例如，如果每次插入操作是在一条线段上每个位置均加k，而查询操作是计算一条线段上的总和，那么在结点上需要记录的值为sum。

 

这里会遇到一个问题：为了使所有sum值都保持正确，每一次插入操作可能要更新O(N）个sum值，从而使时间复杂度退化为O(N）。

 

解决方案是Lazy思想：对整个结点进行的操作，先在结点上做标记，而并非真正执行，直到根据查询操作的需要分成两部分。

 

根据Lazy思想，我们可以在不代表原线段的结点上增加一个值toadd，即为对这个结点，留待以后执行的插入操作k值的总和。对整个结点插入时，只更新sum和toadd值而不向下进行，这样时间复杂度可证明为O(logN）。

 

对一个toadd值为0的结点整个进行查询时，直接返回存储在其中的sum值；而若对toadd不为0的一部分进行查询，则要更新其左右子结点的sum值，然后把toadd值传递下去，再对这个查询本身，左右子结点分别递归下去。时间复杂度也是O(nlogN）。

 

3.代码实现

下面先给出线段树建树的代码：

void build_tree(int l,int r,int k)     
{
    tree[k].l=l;
    tree[k].r=r;
    tree[k].sum=r-l+1;
    if(l==r) return ;
    int m=(l+r)>>1;
    build_tree(l,m,k<<1);
    build_tree(m+1,r,(k<<1)|1);
}

这里使用结构体来完成二叉树的操作：

struct Tree
{
    int l,r,sum;
}tree[4*N];

最后，给出POJ2182的代码，用以讲解线段树：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=8888;
int ans[N],b[N];
int n;
struct Tree
{
    int l,r,sum;
}tree[4*N];
void build_tree(int l,int r,int k)     
{
    tree[k].l=l;
    tree[k].r=r;
    tree[k].sum=r-l+1;
    if(l==r) return ;
    int m=(l+r)>>1;
    build_tree(l,m,k<<1);
    build_tree(m+1,r,(k<<1)|1);
}
void solve(int num,int k,int i)
{
    tree[k].sum--;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        ans[i]=tree[k].l;
        return ;
    }
    if(num<=tree[2*k].sum) solve(num,2*k,i);
    else solve(num-tree[2*k].sum,2*k+1,i);
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    b[1]=0;
    build_tree(1,n,1);
    for(i=n;i>=1;i--) solve(b[i]+1,1,i);
    for(i=1;i<=n;i++) printf("%d
",ans[i]);
}

部分知识来源：百度百科