微积分 的 困难

Posted 2021-03-21 ksongking

本文 是 《我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11893313.html    里 的 第 9 讲 ：

 

从 微分 导数 积分 的 公式 和 运算法则   可以 看出，    微积分  的 困难 发生在 以下 几种 情况 ：

 

1    分母多项式

2    带根号的情况

3 微分量 和 积分量 有关 的 情况

4    微分方程组，  注意 是 方程组，  是 组

5    以上 几种 情况 的 组合

 

微分量 和 积分量 有关 是指 比如  简谐运动 、天体力学 的 一体 二体 …… n 体 运动  。       简谐运动 就是 弹簧振子，  振子小球 的 加速度 a 是 位移 x 的 二阶导数， 是 微分量，  a 和 弹力 F 有关，  F = kx，  F 和 x 有关，   x 是  a 的 二阶积分 ，  x 是 积分量，   所以， a 和 x  相互关联， 这就是  微分量 和 积分量 有关 的 情况  。  当然，  简谐运动 的 微分方程 是 可以解 的，  但是 比 单纯 的 微分 积分 极限 问题 要 复杂一些   。   因为 微分量 和 积分量 互相关联，   所以 不能用 单纯 微分 或者 积分 的 方法 求解     。

 

简谐运动 的 微分方程 ： d²x / dt² = - kx / m， x 为 位移， k 为 弹簧 的 弹性系数， m 为 振子小球 的 质量， k 和 m 是 常数， x , t 是 变量， t 是 自变量

 

可以 对 等式两边 两次 积分 来 求出 左边 的 x，  但 这样 要对 等式右边 进行 两次 积分，  等式右边 含有 x，  x 和 t 的 函数关系 未知，这本身 就是 微分方程 要 求取 的 解，   所以  对 等式右边 的 积分 无从下手 。   所以 用 单纯 微分 或者 单纯 积分 的 方法 不能 解 这个 微分方程，  需要 一些 技巧    。

 

天体力学 的 n 体 运动，  和 简谐运动 类似，    天体（质点）的 加速度 a 是 位移 的 二阶导数，   a 和 引力 F 有关，  引力 F 和 位置 有关，  位置（位移） 是 a 的 二阶积分，   所以，  a 和 位置 互相关联，     这也是  微分量 和 积分量 有关     。