SDOI2010选做

Posted 2021-03-21 66t6

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了SDOI2010选做相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

(Round1~D1T1)外星千足虫

(BSOJ2793)——高斯消元解异或方程组

简述

有(n)个数({a_i})
给出(m)个信息，每个信息给出(displaystyle{(sum_{i=1}^m a_{b_i})mod 2})(({b_i})是({1,2,cdots,n})的子集)
求最少几次操作即可确定可能取值

Solution

(70pts')

给出的信息可以转化为(displaystyle{oplus_{i=1}^m a_{b_i}})

因此问题转化为求异或方程组最少几行就可以有解

高斯消元求自由元个数即可

复杂度(O(n^3))

(100pts')

考虑高斯消元集合异或操作太浪费，使用(bitset)优化异或的特殊情况

复杂度(O(frac{n^3}{64}))

Code

int n,m,ans;
bitset<N> a[M];
int main(void){
    re int i,j;n=read()+1,m=read();
    for(i=1;i<=m;++i)
        for(j=1;j<=n;++j)a[i][j]=gc();
    for(i=1;i<n;++i){
        for(j=i;j<=m;++j)if(a[j][i])break;
        ans=max(ans,j);
        if(j>m)return puts("Cannot Determine"),0;
        if(i^j)swap(a[i],a[j]);
        for(j=1;j<=m;++j){if(i==j||!a[j][i])continue;a[j]^=a[i];}
    }
    printf("%d
",ans);
    for(i=1;i<n;++i)puts((a[i][n])?"?y7M#":"Earth");
    return 0;
}

错误

~~把8行的初始设为了i+1~~

(Round1~D1T2)地精部落

(BSOJ2794)——补集思想简化状态+逆向递推计数dp

简述

求长度为(n)的排列满足任意(iin[2,n-1])有(a_i>a_{i-1}&a_i>a_{i+1})或(a_i<a_{i-1}&a_i<a_{i+1})

Solution

形象来说本题是要我们求//和//的数量

首先考虑若排列({a_i})满足要求那么({b_i}(b_i=n-a_i))也满足要求

那么我们单求//就可以了(所以第一个不为(1))

紧接着我们会发现这个计数题正着做不好做，但构造任意一个序列是容易的所以我们逆推,用反构造(合法( ightarrow)合法)的过程去实现(dp)

已经有(1 ightarrow i)首位为(j)的序列,设情况有(dp_{i,j})个

(j-1)不是首位,那么交换(j-1,j)没有影响,贡献(dp_{i,j-1})
(j-1)是首位,那么去掉(j),就得到一个//序列,(a_i ightarrow i-a_i)即可,贡献(dp_{i-1,i-j+1})

注意滚动一下

Code

int main(void){
    re int i,j,now=0;
    n=read(),mod=read();dp[now][2]=1;
    for(i=3;i<=n;++i){
        now^=1;
        for(j=2;j<=i;++j)dp[now][j]=Mod(dp[now][j-1]+dp[now^1][i-j+1]);
    }
    for(i=2;i<=n;++i)ans=Mod(ans+dp[now][i]);
    printf("%d
",Mod(ans+ans));
    return 0;
}

(Round1~D1T3)大陆争霸

(BSOJ2795)——最短路+拓扑排序

简述

给出一个有向图,有一些点必须在限制他的点之后到达他,求(1 ightarrow n)的最短路

Solution

考虑到限制实际上是让我们满足限制关系(DAG)拓扑序的去完成最短路

因此我们就魔改最短路，加入(Topsort)的过程即可

设(dis_x)表示(1 ightarrow x)的最短路(中间未(Topsort)完不一定满足要求)
(real_x)表示满足拓扑序关系下(1 ightarrow x)的实际最短路(限制我的都被走完)

注意:每次用(real)去更新(dis),只有被限制的更新完了才去更新别的，这样才保证拓扑序

Code

核心

inline void Dijkstra(void){
    re int i,x,v,d;
    for(i=1;i<=n;++i)dis[i]=INF;
    q.push((Node){1,dis[1]=real[1]=0});
    while(!q.empty()){
        x=q.top().x,d=q.top().dis,v=max(dis[x],real[x]),q.pop();
        if(v^d)continue;
        for(i=h[x];i;i=e[i].next){
            re int y=e[i].to;
            if(v+e[i].v<dis[y]){dis[y]=v+e[i].v;if(!deg[y])q.push((Node){y,max(dis[y],real[y])});}
        }
        for(re int y:g[x]){real[y]=max(real[x],v);if(!--deg[y])q.push((Node){y,max(real[y],dis[y])});}
    }
}