图的割点桥和双连通分支的基本概念

Posted 2020-11-16 000what

[点连通度与边连通度]
在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边之后，原图变成多个联通块，就称这个点集为割点集合。
一个图的点连通度定义为，最小个点集合中的顶点数。
类似的，如果有一个边集合，删除这个编辑和以后，原图变成多个连通块，就成这个边集为割边集合。
一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。
[双连通图、割点与桥]
如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的（point biconnected），简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点（cut point），又叫关节点（articulation point）.
如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的（point biconnected），简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥（bridge），又叫关节边（articulation edge）.
可以看到，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们有着某种联系。
[双连通分支]
在图G的所有子图G‘中，如果G‘是双连通的，则称G‘为双连通子图。如果一个双连通子图G‘它不是任何一个双连通子图的真子集，则G‘为极大连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支叫做块。
[求割点与桥]
该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索,定义DFS(u)为u在搜索树(以下简称为树)中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点,即DFS序号最小的节点。根据定义,则有:Low(u)=Min{DFS(u)DFS(v)(u,v)为后向边(返祖边)等价于DFS(v) < DFS(u)且v不为u的父亲节点Low(v)(u,v)为树枝边(父子边)}一个顶点u是割点,当且仅当满足(1)或(2)(1)u为树根,且u有多于一个子树。(2)u不为树根,且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边,即u为v在搜索树中的父亲),使得 DFS(u) <= Low(v)。一条无向边(u,v)是桥,当且仅当(u,v)为树枝边,且满足DFS(u) < Low(v)。

[求双连通分支]
下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。
对于点双连通分支,实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈,存储当前双连通分支,在搜索图时,每找到一条树枝边或后向边(非横叉边),就把这条边加入栈中。如果遇到某时满 足DFS(u) <= Low(v),说明u是一个割点,同时把边从栈顶一个个取出,直到遇到了边(u,v),取出的这些边与其关联的点,组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支,其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。对于边双连通分支,求法更为简单。只需在求出所有的桥以后,把桥边删除,原图变成了多个连通块,则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支,其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。
[构造双连通图]
一个有桥的连通图,如何把它通过加边变成边双连通图?
方法为首先求出所有的桥,然后删除这些桥边, 剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点,再把桥边加回来,最后的这个图一定是一棵树,边连通度为1。统计出树中度为1的节点的个数,即为叶节点的个数,记为leaf。则至少在树上添加(leaf + 1) / 2条边,就能使树达到边二连通,所以至少添加的边数就是(leaf + 1) / 2。具体方法为,首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边,这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起,因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点,这样一对一对找完,恰好是(leaf + 1) / 2 次,把所有点收缩到了一起。