模拟测试67

Posted 2020-11-16 hz-rockstar

T1：

　　求满足$(a+b)<=n$且$n|ab$的数对数。

　　将答案用公式表示：

　　　　$egin{array}{rl} ans &=& sum limits_{i=1}^n sum limits_{j=1}^n [i+j|ij][i+j<=n] \ &=& sum limits_{i=1}^{n-1} sum limits_{j=1}^{n-i} [i+j|ij] end{array}$

　　设$g=gcd(a,b)$，则当$frac{a+b}{g}|g$时，满足条件。

　　证明：
　　　　若$a+b|ab$，则$frac{a+b}{gcd(a,b)}|frac{ab}{gcd(a,b)}$。

　　　　设$a‘=frac{a}{gcd(a,b)}，b‘=frac{b}{gcd(a,b)}$。

　　　　则$a‘+b‘|a‘b‘gcd(a,b)$。

　　　　由于$a‘$和$b‘$互质，$a‘+b‘|gcd(a,b)$。

　　满足条件的数对数为：

　　　　$ans=sum limits_{i=1}^{n-1} sum limits_{j=1}^{n-i} [i+j|gcd(i,j)]$

　　枚举gcd:

　　　　$egin{array}{rl} ans &=& sum limits_{g=1}^{sqrt{n}} sum limits_{i=1}^{lfloor frac{n}{g} floor} sum limits_{j=1}^{lfloor frac{n}{g} floor -i}[gcd(i,j)==1][i+j|g] \ &=& sum limits_{g=1}^{sqrt{n}} sum limits_{i=2}^{lfloor frac{n}{g} floor} sum limits_{j=1}^{i-1} [gcd(j,i-j)==1][i|g] end{array}$

　　由更相减损术可知：

　　　　$gcd(x,y)==gcd(y,x-y)$

　　所以：

　　　　$egin{array}{rl} ans &=& sum limits_{g=1}^{sqrt{n}} sum limits_{i=2}^{lfloor frac{n}{g} floor} [i|g] sum limits_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)==1] \ &=& sum limits_{g=1}^{sqrt{n}} sum limits_{i=1}^{lfloor frac{n}{g} floor} [i|g] varphi(i) \ &=& sum limits_{g=1}^sqrt{n} sum limits_{d|g} varphi(d) \ &=& sum limits_{d=1}^{sqrt{n}} lfloor frac{n}{d^2} floor varphi(d )end{array}$

　　线性筛出$varphi$即可。

　　时间复杂度$O(sqrt{n})$。

T2：

　　最长上升子序列问题。

　　用数状数组优化能达到$nlogn$的复杂度。

　　还需要统计方案数，在数状数组中装结构体，不断合并，求出当前点在最优状况下的方案数，然后转移。

　　时间复杂度$O(nlogn)$。

T3：

　　斐波那契数，肯定要用到斐波那契数列。

　　设三个数组，$dp[i]$表示斐波那契数，$f[i]$表示第$i$层的白点数，$g[i]$表示黑点数。

　　这三个数组都可以通过递推得到，再处理一个前缀和。

　　分情况讨论：

　　　　若lca为其中一个白点，直接处理子树中白点数之和，成上每层的白点数。

　　　　其他情况下lca均为黑色节点，枚举路径长度，和一个点距lca的深度，另一个点可以算出。

　　　　然后可以得知黑色节点的高度范围，乘上黑色点数即可。

　　时间复杂度$O(n^2)$。