[CF1268D]Invertation in Tournament

Posted 2021-03-21 nealchen

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题意

给定 $n$ 阶竞赛图，定义“反转”一个顶点表示将和它有关的边全部反向，现要用一系列反转操作获得一个强连通竞赛图，求最短的反转序列的长度和方案数。

题解

引理 $1$ ：$n$（$n ge 4$）阶强连通竞赛图至少存在一个顶点使得其反转后原图仍强连通。

引理 $1$ 的证明：

1. 当 $n=4$ 时，不同构的强连通竞赛图只有两种，分别讨论即可。
2. 假设当 $n=k$ 时引理 $1$ 成立（$k ge 4$ 是正整数），当 $n=k+1$ 时，……
3. 证明可能鸽了。

引理 $2$ ：对于 $n>6$ 只需反转至多一个顶点。

引理的证明：

1. 该竞赛图的 SCC 个数为 $1$ ，不需反转。
2. 该竞赛图的 SCC 个数至少为 $3$ ，只需反转链的非头尾 SCC 中的任意一点。
3. 该竞赛图的 SCC 个数为 $2$ ，根据抽屉原理至少存在一个 SCC 的大小不小于 $4$ ，此 SCC 存在一个顶点可反转，使得该 SCC 内的顶点仍然强连通，从而原图强连通。

综上所述，引理 $2$ 成立。

当 $n le 6$ 时，只需要枚举所有组合；当 $n>6$ 时，可以枚举反转哪个点然后考虑度数序列求是否只有一个 SCC 。具体算法可能鸽了。