平衡树treap 0基础详解

Posted 2021-03-21 lbssxz

刚开始学treap。。同学在台上给我们讲，貌似除我之外的机房dalao们都听懂了就我发呆。。。（滑稽）

于是，事后的窝只能自己上网翻书研究了。。。。

treap：

treap=tree+heap，树+堆

也就是说，这个东西是个树，但是满足堆的性质。

前置知识：

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BST二叉搜索树：

度娘曰：

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

也就是说，你把它从根节点中序遍历一边就能得到一个从小到大的数列。

大概长这样子：

 

 对于4：左边子树节点的权值为0 1 2 3，都比4小，右边子树节点的权值为5 6 7，都比4大。

对于1：左边子树节点权值为0，比1小，右边子树节点权值为2 3，比1大（且比4小）。

对于其他节点同理。

一个不难理解的东西。

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堆：

priority_queue。。。

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

这里就不再手写堆了，‘’

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回过头来：

根据BST的定义我们可以知道，任意选取一个数做为根节点，在整个数列中一定能找到比他小的数和比他大的数（或者其中一个不存在），同样的，对于它的子树也是根节点不确定的。

有些毒瘤！ 出题人会拿duliu数据把BST卡成一条链，然后多次询问，复杂度直接爆炸。

那么为了均摊一下BST的深度，使得每次询问时间复杂度都接近logn的话，我们需要对它进行一系列操作：

赋权值：

我们随机为每一个节点赋值一个权值pri，对于pri我们要求pri低的深度小，也就是小根堆的性质，因为rand每次都随机的话是可以均摊一下节点的深度（具体的原理我还一时半会说不清。。感性李姐）

如何调整节点使得其满足堆序：

在节点插入时，和bst一样建立，找到自己节点应该在的位置，当当前节点为空时，建立新节点，rand它的pri后返回，对其进行左右旋转操作。

左旋：就是把根节点转移到其左子节点的位置，并维护BST。

方法：直接上图：

　　

 

 我们可以按照红线的方法来划分子树；

这样就是上面的一条链和下面的又子节点的子树两部分了。

 

 旋转后，绿色节点到达根节点位置，也就是把整条链往左拽了一下；子树换了父亲，认左边的节点为爸爸了：

 

 就这样完了。

右旋：换个方向搞左旋。

删除节点：

删除时，如果该节点对应size>1，则size--，否则将其权值pri赋为inf或者清空。之后我们可以通过比较左右子树pri的大小决定谁做新的根（为了满足堆的性质，单数不管是左子树根节点还是右子树根节点做新的根，都不会影响BST性质，感性模拟），之后根节点就变成了原来左子树/右子树中的一员，继续递归下去，直到成为叶节点，也就是这一段开头说的那句话的情况。之后我们就可以直接删除它了。

求前驱后继：

一个数x的前驱定义为小于这个数的最大的数。后继就是大于等于这个数的最小的数。

理解如何递归：

以前驱举例子，因为要找小于这个数的最大的数，那么肯定到左子树去找；

如果当前节点大于等于根节点的值，到左子树里面找；

如果当前节点空的，返回inf，

else，如果当前节点的val<x 则返回max(v,去右子树递归的返回值)；

else，说明答案还在左子树里面，那么就到左子树去找。

原理基本讲解完毕。

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学会的人去切：https://www.luogu.com.cn/problem/P3369

完结、