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Posted 2021-03-21 zzqtxdy

题目大意

给出一棵(n)个点的树，每个节点有一个字符，再给出一个长度为(m)的字符串(S)。求树上所有路径所代表的字符串在(S)中的出现次数。
(n,mleq 50000)

题解

首先一个(O(n^2))的暴力是枚举每个点(dfs)一次，一边(dfs)一边在(S)的(SAM)上跑，开个栈记一下之前跑到过哪些点可以做到(O(n^2))。
因为是关于树上所有路径的问题所以考虑点分，设当前子树根为(u)。
把路径分为(u)前面和后面的部分，求出所有可能的到(u)前面的那一段路径在(S)的每个位置结尾了多少次以及所有可能的从(u)出发的路径在每个位置开始了多少次，这个可以一边(dfs)一边在后缀树上跑，相当于对跑到的点的所有(endpos)加了(1)。
然后枚举一下两段接起来的位置求出答案。
但是这样做复杂度是(O(k+m))（(k)为子树大小）的，总时间复杂度是(O(nm))。
点分树有一个性质：子树大小大于等于(k)的点最多只有(O(lfloor frac{n}{k} floor))个。
这个不难证明，只考虑子树大小大于等于(k)且没有任何儿子大于等于(k)的点，最多(lfloor frac{n}{k} floor)个，每往上加一个点都会把至少两棵树合并起来，否则把重心下移子树分布更为平均。总共加最多(lfloor frac{n}{k} floor -1)个点后合并成一整棵树。
这样我们可以对于大于(sqrt{n})的子树用上述做法，小于等于(sqrt{n})的子树用(O(n^2))的暴力。前者复杂度是(O((n+m)sqrt{n}))，后者总大小(O(n))，单个大小(O(sqrt{n}))，复杂度(O(nsqrt{n}))。
注意所有大于(sqrt{n})的点的儿子总数最多(O(n))，所以去重的时候对于小于等于(sqrt{n})的儿子要特殊处理（因为这个(hack)掉了一大群人）。
预处理(sa)的(dfs)序而不是每次(dfs)一遍下传标记可以极大降低常数。
（一开始写了个(O(mlog m))的(dfs)然后(T)飞了）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mxn=100010,K=220;
int lens;
char s[mxn],t[mxn];
namespace Suf{
    int n,cur,trans[mxn][26],son[mxn][26],id[mxn],len[mxn],fa[mxn];
    int ins(int u,int c,int idd){
        int x=++n,v;
        len[x]=len[u]+1,id[x]=idd;
        for (;u&&!trans[u][c];trans[u][c]=x,u=fa[u]);
        if (!u) fa[x]=1;
        else if (len[v=trans[u][c]]==len[u]+1) fa[x]=v;
        else{
            len[++n]=len[u]+1,id[n]=idd;
            fa[n]=fa[v],fa[x]=fa[v]=n;
            for (int i=0;i<26;++i) trans[n][i]=trans[v][i];
            for (;u&&trans[u][c]==v;trans[u][c]=n,u=fa[u]);
        }
        return x;
    }
    int ln,curr,his[mxn],idx[mxn],idy[mxn],tot,ans[mxn>>1],sa[mxn];
    void dfs(int u){
        idx[u]=tot+1;
        if (id[u]+len[u]==lens) sa[++tot]=id[u]+1;
        for (int i=0;i<26;++i)
            if (son[u][i]) dfs(son[u][i]);
        idy[u]=tot;
    }
    void init(){
        n=cur=his[0]=1;
        for (int i=lens-1;i>=0;--i)
            cur=ins(cur,s[i]-'a',i);
        for (int i=2;i<=n;++i)
            son[fa[i]][s[id[i]+len[fa[i]]]-'a']=i;
        dfs(1);
    }
    void add(int c){
        if (ln==len[curr]) curr=son[curr][c];
        else if (c!=s[id[curr]+ln]-'a') curr=0;
        his[++ln]=curr;
        ++ans[idx[curr]],--ans[idy[curr]+1];
    }
    void add2(int c){
        if (ln==len[curr]) curr=son[curr][c];
        else if (c!=s[id[curr]+ln]-'a') curr=0;
        his[++ln]=curr;
    }
    void del(){
        curr=his[--ln];
    }
    void clr(){
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        ln=0,curr=1;
    }
}
namespace Pre{
    int n,cur,trans[mxn][26],son[mxn][26],id[mxn],len[mxn],fa[mxn];
    int ins(int u,int c,int idd){
        int x=++n,v;
        len[x]=len[u]+1,id[x]=idd;
        for (;u&&!trans[u][c];trans[u][c]=x,u=fa[u]);
        if (!u) fa[x]=1;
        else if (len[v=trans[u][c]]==len[u]+1) fa[x]=v;
        else{
            len[++n]=len[u]+1,id[n]=idd;
            fa[n]=fa[v],fa[x]=fa[v]=n;
            for (int i=0;i<26;++i) trans[n][i]=trans[v][i];
            for (;u&&trans[u][c]==v;trans[u][c]=n,u=fa[u]);
        }
        return x;
    }
    int siz[mxn],ln,curr,his[mxn],idx[mxn],idy[mxn],tot,ans[mxn>>1],sa[mxn];
    void dfs(int u){
        idx[u]=tot+1;
        if (id[u]+1==len[u]) sa[++tot]=id[u]+1;
        for (int i=0;i<26;++i)
            if (son[u][i]) dfs(son[u][i]);
        idy[u]=tot;
    }
    void dfss(int u){
        siz[u]=id[u]+1==len[u];
        for (int i=0;i<26;++i)
            if (son[u][i]) dfss(son[u][i]),siz[u]+=siz[son[u][i]];
    }
    void init(){
        n=cur=his[0]=1;
        for (int i=0;i<lens;++i)
            cur=ins(cur,s[i]-'a',i);
        for (int i=2;i<=n;++i)
            son[fa[i]][s[id[i]-len[fa[i]]]-'a']=i;
        dfss(1);
        dfs(1);
    }
    void add(int c){
        if (ln==len[curr]) curr=son[curr][c];
        else if (c!=s[id[curr]-ln]-'a') curr=0;
        his[++ln]=curr;
        ++ans[idx[curr]],--ans[idy[curr]+1];
    }
    int add2(int c){
        his[++ln]=curr=trans[curr][c];
        return siz[curr];
    }
    void del(){
        curr=his[--ln];
    }
    void clr(){
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        ln=0,curr=1;
    }
}
LL ans;
int A[mxn],B[mxn];
void getans(int x){
    for (int i=1;i<=lens;++i)
        Pre::ans[i]+=Pre::ans[i-1],A[Pre::sa[i]]=Pre::ans[i];
    for (int i=1;i<=lens;++i)
        Suf::ans[i]+=Suf::ans[i-1],B[Suf::sa[i]]=Suf::ans[i];
    for (int i=0;i<lens;++i)
        ans+=1ll*(A[i]+x)*B[i+1];
}
int n,m,head[mxn],siz[mxn],exist[mxn];
struct ed{int to,nxt;}edge[mxn];
void addedge(int u,int v){
    edge[++m]=(ed){v,head[u]},head[u]=m;
    edge[++m]=(ed){u,head[v]},head[v]=m;
}
int num,rt;
void getrt(int u,int fa,int N){
    siz[u]=1;
    int mx=0;
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if ((v=edge[i].to)!=fa&&!exist[v]){
            getrt(v,u,N);
            siz[u]+=siz[v];
            mx=max(mx,siz[v]);
        }
    mx=max(mx,N-siz[u]);
    if (mx<num) num=mx,rt=u;
}
void dfs(int u,int fa){
    ans+=Pre::add2(t[u]-'a');
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if ((v=edge[i].to)!=fa&&!exist[v]) dfs(v,u);
    Pre::del();
}
void solve_1(int u,int fa){
    Pre::ln=0;
    Pre::curr=1;
    dfs(u,0);
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if ((v=edge[i].to)!=fa&&!exist[v]) solve_1(v,u);
}
int stk[mxn],tp;
void solve_2(int u,int fa,int rt,int rtf){
    Pre::ln=0;
    Pre::curr=1;
    stk[++tp]=t[u]-'a';
    for (int i=tp;i>=0;--i) Pre::add2(stk[i]);
    dfs(rt,rtf);
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if ((v=edge[i].to)!=fa&&!exist[v]) solve_2(v,u,rt,rtf);
    --tp;
}
void cal(int u,int fa){
    Pre::add(t[u]-'a');
    Suf::add(t[u]-'a');
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if ((v=edge[i].to)!=fa&&!exist[v]) cal(v,u);
    Pre::del();
    Suf::del();
}
void solve(int u,int N){
    if (N<=K) return solve_1(u,0);
    Suf::clr(),Pre::clr();
    Suf::add(t[u]-'a');
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if (!exist[v=edge[i].to]) cal(v,u);
    getans(1);
    LL tmp=ans;
    ans=0;
    getrt(u,0,N);
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if (!exist[v=edge[i].to])
            if (siz[v]<=K){
                stk[0]=t[u]-'a';
                solve_2(v,u,v,u);
            }
            else{
                Suf::clr(),Pre::clr();
                Suf::add2(t[u]-'a');
                cal(v,u);
                getans(0);
            }
        else;
    ans=tmp-ans;
    exist[u]=1;
    for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
        if (!exist[v=edge[i].to]){
            num=1e9,getrt(v,0,siz[v]);
            solve(rt,siz[v]);
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&lens);
    for (int i=1,x,y;i<n;++i)
        scanf("%d%d",&x,&y),addedge(x,y);
    scanf("%s%s",t+1,s);
    Suf::init();
    Pre::init();
    num=1e9,getrt(1,0,n);
    solve(rt,n);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}