小Y的涂鸦 数学期望 dp

Posted 2021-03-21 golden-elf

题意概述：

　　现在给出一个N*N的方格纸，有M个格子已经被涂黑了。现在小明也来涂格子，每次等概率地涂格子（包括已经被涂过的），问期望的涂格子次数，使得方格纸每一行每一列都至少有一个格子被涂过。

 

数据范围：

　　1 ≤ n ≤ 2·10³，0 ≤ m ≤ min(n², 2·10³)，1 ≤ r_i, c_i ≤ n  （这是给出的涂过的格子的坐标），

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分析：

　　我开始有一点小小的认为我的脑子可能有点好使了（YY出一个自己认为掌握的很差的东西，虽然最后做完回来看这题很水）

　　简单考虑一下，可以发现坐标的具体值是没有任何意义的，关键是这些被涂过的格子占了多少行多少列，假设就占了R行C列。

　　那么剩下A行B列没有涂，实际上可以把它看成一个位于方格纸左上角的A*B矩阵（不过A,B可以是0）。

　　很自然地想到用dp解决问题，设 f( a , b )表示让没有涂过的a行b列中每行每列至少有一个格子被涂过的期望次数。

　　四种情况:

　　　　1.这次涂使得a减一，b不变，那么概率为 a/N*(N-b)/N，贡献 a/N*(N-b)/N * f( a-1 , b )

　　　　2.这次涂使得b减一，a不变，那么概率为 (N-a)/N*b/N，贡献 (N-a)/N*b/N * f( a , b-1 )

　　　　3.这次涂使得a,b一起减一，那么概率为 a/N*b/N，贡献 a/N*b/N * f( a-1 , b-1 )

　　　　4.这次涂并没有改变a,b，那么概率为 (N-a)/N*(N-b)/N，贡献 (N-a)/N*(N-b)/N * f( a , b )

　　然后加上这次涂的代价1，那么就可以整理出dp方程（把第四部分移到等号左边即可）

 

　　只需要初始化 f( 0 , 0 ) = 0 即可，没有特别的边界，注意两维为0的时候也要推。

　　时间复杂度O(NM)

 

　　总结：求操作的期望次数，那么可能可以把操作需要达到的状态放到dp方程里面去递推。

 

AC代码：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<stdbool.h>
 4 #include<math.h>
 5 #define maxn 2005
 6 
 7 int T,N,M,A,B;
 8 bool markc[maxn],markr[maxn];
 9 double f[maxn][maxn];
10 
11 void data_in()
12 {
13     memset(f,0,sizeof(f));
14     memset(markc,0,sizeof(markc));
15     memset(markr,0,sizeof(markr));
16     scanf("%d%d",&N,&M);
17     int x,y;
18     for(int i=1;i<=M;i++){
19         scanf("%d%d",&x,&y);
20         markr[x]=1,markc[y]=1;
21     }
22 }
23 void work()
24 {
25     A=B=N;
26     for(int i=1;i<=N;i++){
27         if(markr[i]) A--;
28         if(markc[i]) B--;
29     }
30     f[0][0]=0;
31     for(int i=0;i<=A;i++)
32     for(int j=0;j<=B;j++) if(i!=0||j!=0){
33         double tmp=1;
34         if(i>=1) tmp+=f[i-1][j]*i*(N-j)/(N*N);
35         if(j>=1) tmp+=f[i][j-1]*(N-i)*j/(N*N);
36         if(i>=1&&j>=1) tmp+=f[i-1][j-1]*i*j/(N*N);
37         f[i][j]=tmp*N*N/(N*N-(N-i)*(N-j));
38     }
39     printf("%.5lf
",f[A][B]);
40 }
41 int main()
42 {
43     freopen("test.in","r",stdin);
44     freopen("test.out","w",stdout);
45     scanf("%d",&T);
46     while(T--){
47         data_in();
48         work();
49     }
50     return 0;
51 }

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