神炎皇（模拟测试67）（数论）

Posted 2020-11-15 toot-wjh

神炎皇：

　　题意：

　　　　对于一个整数对$(a,b)$，若满足$a+b<=n$且$a+b$是$a*b$的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少个？（$N<=10^{14}$）

　　题解：

　　　　已知$a+b<=n\ (a+b)|ab$。

　　　　设$d=gcd(a,b),x=a/d,y=b/d$。

　　　　上式为$(x+y)*d<=n（1）\ (x+y)|x*y*d（2）$。

　　　　因为$gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1$。

　　　　（2）式可化减为$(x+y)|d$。

　　　　又由（1）式得$(x+y)<=sqrt{n}$。

　　　　设$k=x+y,d=z*k$，所以$z*k^2<=n$，那么合法的$d$的个数为$lfloor frac{n}{k^2} floor$。

　　　　而对于每一个$d$，都有$varphi{k}$个$x$满足条件。

　　　　所以最后答案为$sumlimits_{i=1}^{sqrt{n}} varphi(i) * lfloor frac{n}{k^2} floor$。

　　code：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define R register
#define ll long long
#define int long long
inline int read()
{
	int aa=0;char cc=getchar();
	while(cc<‘0‘||cc>‘9‘)cc=getchar();
	while(cc<=‘9‘&&cc>=‘0‘)
		aa=(aa<<3)+(aa<<1)+(cc^48),cc=getchar();
	return aa;
}
const int N=1e7+7,M=1e6;
int n,ans;bool mark[N];int tot,phi[N],prime[M];
void getphi(const int lim)
{
	for(R int i=2;i<=lim;++i){
		if(!mark[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(R int j=1;j<=tot;++j){
			if(i*prime[j]>lim)break;
			mark[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
signed main()
{
	//freopen("uria.in","r",stdin);
	//freopen("uria.out","w",stdout);
	n=read();
	const int lim=sqrt(n);
	getphi(lim+2);
	for(R int i=1;i<=lim;++i)
		ans+=phi[i]*(n/(i*i));
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}
/*
21 
*/