2020届成都一诊理科16题

Posted 2021-03-21 xuebajunlutiji

已知直线(y=kx)与双曲线(C:; frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))相交于不同的两点(A,B,;;F)为双曲线(C)的左焦点(,;)且满足(|AF|=3|BF|,|OA|=b(O)为坐标原点(),;)则双曲线(C)的离心率为(underline{qquadqquad}.)

法一(:;)略。

法二(:;)
(AF_2=ex_A-a=aRightarrow x_A=frac{2a^2}{c})
由(Rt riangle OF_2ARightarrow y_A=frac{ab}{c})
由点(A)在双曲线(C)上(Rightarrowcdots Rightarrow e=sqrt{3})。

法三(:;)
记(angle AF_2 x= heta)，则(|AF_2|=a=frac{ecdot frac{b^2}{c}}{1-ecos heta}Rightarrow cos heta=frac{a^2-b^2}{ac})
在(Rt riangle OF_2A)中，(sin(pi- heta)=frac{b}{c}Rightarrowcdots Rightarrow c^2=3a^2 ; or; c^2=a^2Rightarrow e=sqrt{3})。

方法二和方法三使用的二手结论均来自圆锥曲线的第二定义。