二分图
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二分图相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
定义
顶点可以分成(A,B)两个集合，每条边的两个顶点分别位于(A,B)集合中的图
以该图为例，标记黄色顶点属于集合(A)，灰色顶点属于集合(B)，则所有边的两个顶点分属于(A,B)集合，该图是一张二分图
二分图中不含奇环（不含奇环的图都是二分图）
判定
黑白染色：用(DFS)对原图的顶点进行染色，若某一点为黑色，则与其相邻的点全部染为白色，如果染色过程中不出现矛盾，则原图是二分图
证明：黑白染色过程中出现矛盾，当且仅当图中存在奇环
常见二分图模型
相邻两点冲突
这类题目有些图论模型是需要自己建立的
洛谷P3430 [POI2005]DWU-Double-row
棋盘问题
棋盘通常可以黑白染色
二分图相关问题
二分图最大匹配
匹配：
任意两条边都没有公共点的一个边的集合称为二分图的一个匹配
交错路：
对于原图中的一条路径，存在奇数条边属于匹配，偶数条边不属于匹配，或相反的情况，那么这条路径被称为交错路
增广路：
对于图中任意一个匹配，如果原图存在一条长度为奇数的路径，满足路径的第奇数条边不属于该匹配，第偶数条边属于该匹配，那么这条路径被称为增广路
最大匹配：
边数最多的匹配 （不存在增广路的匹配）
如图，加粗的黑边即是二分图的一个最大匹配
匈牙利算法：
二分图中常见的寻找最大匹配的算法
其本质是贪心的从每个左部节点（(A)集合节点）寻找增广路的过程
依次考虑每个左部节点，找到一个右部节点与其匹配
一个右部节点能与其匹配，必须满足一下两个条件之一：
(1.)该节点尚未与其他左部节点匹配
(2.)从该右部节点匹配的左部节点出发，寻找新的尚未标记的右部节点与其匹配
条件一不用多解释，可以发现条件二就是在寻找增广路
某个臭名昭著的OJ冒烟了，没办法保证模板正确性，先不贴了
例题：
二分图最小覆盖
图的覆盖：
满足每一条边都有至少一个点在其中的点集，叫做图的覆盖
最小覆盖：
包含点数最少的覆盖
最小覆盖=最大匹配（数值上）
构造：
先求出最大匹配，然后从右部节点的每一个未匹配点寻找交错路，并标记访问过的节点
则左部标记节点和右部未标记节点构成一组最小覆盖
证明：
最小性：
右侧所有未匹配点都被标记，左侧所有未匹配点都未被标记，所以所有覆盖都从匹配点中选择
对于某一联通子图，左部匹配点被选择后，右侧一定不被选择，右侧匹配点被选择后左侧一定不被选择，所以最小覆盖=最大匹配
合法性：
一对匹配点一定同时被标记或未被标记，所以所有匹配边一定被覆盖
连接左部匹配点和右部非匹配点的边会被左部覆盖
连接右部匹配点和左部非匹配点的边会被右部覆盖
最大匹配中不存在连接一对非匹配点的边
所以合法性成立
例题：
二分图最大独立集
图的独立集：
任意两点在图中没有边相连的点集
二分图最大独立集
点数最多的二分图的独立集
二分图最大独立集=图的点数-二分图最大匹配
可以理解为图中所有点减去最少的点令剩下的点没有边相连，也就是用最少的点覆盖所有的边，即最小点覆盖
先鸽子了～
以上是关于二分图的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章