二分类问题

Posted 2021-03-20 xiaojingjingzhuanshu

二分类问题示例：

首先我们从一个问题开始说起，这里有一个二分类问题的例子，假如你有一张图片作为输入，比如这只猫，如果识别这张图片为猫，则输出标签1作为结果；如果识别出不是猫，那么输出标签0作为结果（这也就是著名的cat和non cat问题）。现在我们可以用字母y来表示输出的结果标签，如下图所示：

我们来看看一张图片在计算机中是如何表示的，为了保存一张图片，需要保存三个矩阵（矩阵的概念，一定要清楚，不清楚的需要去看看线性代数了，补充下），它们分别对应图片中的红、绿、蓝三种颜色通道，如果你的图片大小为64x64像素，那么你就有三个规模为64x64的矩阵，分别对应图片中红、绿、蓝三种像素的强度值。为了便于表示，这里我画了三个很小的矩阵，注意它们的规模为5x4 而不是64x64，如下图所示：

 

 

为了把这些像素值放到一个特征向量（这个是重点，特征向量！这个是后面很多神经网络的核心思维！）中，我们需要把这些像素值提取出来，然后放入一个特征向量x。为了把这些像素值转换为特征向量 x，我们需要像下面这样定义一个特征向量 x 来表示这张图片，我们把所有的像素都取出来，例如255、231等等，直到取完所有的红色像素，接着最后是255、134、…、255、134等等，直到得到一个特征向量，把图片中所有的红、绿、蓝像素值都列出来。（可以想象成把所有画素值并成一列或者一排，这里最好理解成一列，因为后续的思路是按列来看的），如果图片的大小为64x64像素，那么向量 x 的总维度，将是64乘以64乘以3，这是三个像素矩阵中像素的总量。

 

在这个例子中维度为12,288。现在我们用n_x=12,288，来表示输入特征向量的维度，有时候为了简洁，我会直接用小写的n来表示输入特征向量x的维度。所以在二分类问题中，我们的目标就是习得一个分类器，它以图片的特征向量作为输入，然后预测输出结果y为1还是0，也就是预测图片中是否有猫：

 

 

接下来我们说明一些在余下课程中，需要用到的一些符号。

符号定义 ：

x：表示一个n_x维数据，为输入数据，维度为(n_x,1)；

y：表示输出结果，取值为(0,1)（取值问题，一定要注意，这个是后期输出值的把控重点！）；

(x^(i),y^(i))（代表x的（i）上标，y的（i）上标）：表示第i组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据；

X=[x^(1),x^(2),...,x^(m)]：表示所有的训练数据集的输入值，放在一个 n_x×m的矩阵中，其中m表示样本数目;

Y=[y^(1),y^(2),...,y^(m)]：对应表示所有训练数据集的输出值，维度为1×m。

此处方便理解，特意截图出来，希望能了解！

 

 

用一对(x,y)来表示一个单独的样本，x代表n_x维的特征向量，y 表示标签(输出结果)只能为0或1。 而训练集将由m个训练样本组成，其中(x^(1),y^(1))表示第一个样本的输入和输出，(x^(2),y^(2))表示第二个样本的输入和输出，直到最后一个样本(x^(m),y^(m))，然后所有的这些一起表示整个训练集。有时候为了强调这是训练样本的个数，会写作M_train，当涉及到测试集的时候，我们会使用M_test来表示测试集的样本数，所以这是测试集的样本数：

 

 

最后为了能把训练集表示得更紧凑一点，我们会定义一个矩阵用大写X的表示，它由输入向量x^(1)、x^(2)等组成，如下图放在矩阵的列中，所以现在我们把x^(1)作为第一列放在矩阵中，x^(2)作为第二列，x^(m)放到第m列，然后我们就得到了训练集矩阵X。所以这个矩阵有m列，m是训练集的样本数量，然后这个矩阵的高度记为n_x，注意有时候可能因为其他某些原因，矩阵X会由训练样本按照行堆叠起来而不是列，如下图所示：x^(1)的转置直到x^(m)的转置，但是在实现神经网络的时候，使用左边的这种形式，会让整个实现的过程变得更加简单

 

 

现在来简单温习一下:X是一个规模为n_x乘以m的矩阵，当你用Python实现的时候，你会看到X.shape，这是一条Python命令，用于显示矩阵的规模，即X.shape等于(n_x,m)，X是一个规模为n_x乘以m的矩阵。所以综上所述，这就是如何将训练样本（输入向量X的集合）表示为一个矩阵。

那么输出标签y呢？同样的道理，为了能更加容易地实现一个神经网络，将标签y放在列中将会使得后续计算非常方便，所以我们定义大写的Y等于y^(1),y^(2),...,y^(m)，所以在这里是一个规模为1乘以m的矩阵，同样地使用Python将表示为Y.shape等于(1,m)，表示这是一个规模为1乘以m的矩阵。

 

 

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