对称次模函数

Posted 2021-03-20 gzy-cjoier

对称次模函数

给定一个有限集合V,对称次模函数是定义在(2^V)的一个实函数(f),并且其满足以下两种性质。
次模性：若(A subseteq B,x otin B)，则有(f(A+{x}) -f(A) ge f(B+{x}) -f(B))
对称性：(f(A)=f(V-A))

割：对与(s,t(s eq t))，若(s in A,t otin A)，则称(A)为(s,t)的割。
最小割：对于(s,t)的割中(f(A))最小的那一个(A)，写作(alpha(s,t))。

最小割树(Gomory-Hu tree)：
考虑一棵树(T=(V,E))，使得(alpha(u,v)=min_{(s,t) in path(u,v),}alpha(s,t))。
并且对于((s,t)in E, alpha(s,t)={x|删掉(s,t)后x与s联通})。

一个很自然的问题是最小割树是否存在，本文随后将给出构造性证明。
由于对称性和次模性我们可以得到一些很有用的等式。

次模性的定义和下式等价
(f(A)+f(B) ge f(A igcup B)+ f(A igcap B))

由上面的结论和对称性可以得到
(f(A)+f(B) ge f(A - B)+ f(A - B))
证明十分显然，这里略去。

引理

令(X=alpha(u,v),W=alpha(s,t))。不存在一组((s,t),(u,v))使得他们相交。
即(X,W)要么交集为空，要么存在(X subseteq W)或(W subseteq X)

考虑反证，不失一般性地令 (sin W),(u in X)，并且(s in X)。
那么考虑分类讨论。
Case1 $t otin X $,那么我们有
(f(X)+f(W) ge f(X igcap W) + f(X igcup W))
由最小割定义可以得到，(f(X igcap W) ge f(X),f(W))
所以(f(X igcup W) le f(X),f(W))，显然矛盾。

Case2 $tin X $,那么我们有
(f(X)+f(W) ge f(X - W) + f(X + W))
由最小割定义可以得到，(f(X - W) ge f(W))，(f(W-X) ge f(X))，矛盾。

考虑构造最小割树。
我们定义一个广义最小割树，即我们有若干个点集({C_i})，然后这些点集通过一些边连成一棵树，并且每一条边((s,t)),其(alpha(s,t))为删掉这条边后剩下的两个不连通的子集。
不难发现上面的最小割树其实就是这里(|C_i|=1)的情况。
考虑每次拿出一个(|C_i| ge 2)的点集，随两个点((s,t))，求出(X=alpha(s,t))，然后将(C_i)分成(C_i - X)和(C_i igcap X)，在((s,t))上连一条边。重复这个操作直到(|C_i|=1)
根据引理这肯定是对的。

现在我们构造的最小割树满足((s,t)in E, alpha(s,t)={x|删掉(s,t)后x与s联通})。
我们还需要证明其满足(alpha(u,v)=min_{(s,t) in path(u,v),}alpha(s,t))。
不妨考虑(alpha(s,t))是u,v路径上最小的割。
显然有$ alpha(u,v) le alpha(s,t) $
对于任意$i,j,k,都有alpha(i,k) ge min{alpha(i,j),alpha(j,k)} $
因此可以得到$alpha(u,v) ge min_{(s,t) in path(u,v)} {alpha(s,t) } $
所以有$ alpha(u,v)= alpha(s,t)$。

如果存在一张图(G=(V,E))，定义(f(A)={ sum_{(u,v) in E,u in A, v otin A} w((u,v))})，(alpha(s,t)= min_{s in A,t otin A}f(A))，不难发现(alpha(s,t))就是(s,t)在无向图上的最小割，而且这个函数(f)显然是满足对称性和次模性的。