费米问题——芝加哥有多少钢琴调音师？

Posted 2021-03-20 techflow

本文始发于个人公众号：TechFlow

 

 

最近看到了一个有趣的事迹，说是有一个著名的物理学家叫做费米。他当年参与了曼哈顿计划，是原子弹的制造者之一。说是有一天他问了他的研究生一个问题，在芝加哥这座城市当中，存在着多少钢琴调音师？

 

他要求他的学生只能靠着自己估算，不能使用任何调查或者统计数据。他的学生一脸懵逼，我又不是神仙，怎么能知道芝加哥里有多少钢琴调音师？

 

费米微微一笑，说出了这个问题的答案。

 

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首先我们要确定的是芝加哥这座城市有多少人口？由于不能使用统计数据，所以我们无法获得精确的数据，不过这没关系，至少有一点我们可以肯定，芝加哥的人口数量应该在百万级，所以我们就假设有一百万人口。

 

人口的问题解决了，那么这么多人口又有多少架钢琴呢？我们需要估算平均多少人中拥有一架钢琴，我们依旧不能确定精确值，同样可以使用估算方法。平均十人拥有一架钢琴多了一点，平均一千人拥有一架钢琴又少了一点，所以数量级应该在百这个单位  。那我们就假设平均一百人拥有一架钢琴，那么芝加哥这座城市当中应该有一百万除以一百，大约一万架钢琴。

 

 

 

知道了钢琴数量之后，我们怎么估算调音师的数量呢？

 

我们直接通过钢琴的数量估计调音师的数量好像不太容易，我们可以换一个思路。同样，我们可以估计出，平均每台钢琴每年需要调音一次。那么一万架钢琴，平均每年需要调音一万次。接着， 我们估计一个调音师一年能够调节的钢琴数量，这里，我们只估算数量级。按一年工作200天算，即使每天都有活，一年能调的钢琴数量也不会超过一千，也就是说数量级应该在“百”这个单位。那么我们按照一个人一年能调100台钢琴计算。如此一来，如果需要将全市所有的钢琴全部调节一次，应该需要一百个钢琴调音师。

 

那个年代互联网还没有兴起，费米的学生们去查了全市的电话簿，芝加哥总共的钢琴调音师有81人。这个数字和估算得到的100非常接近。

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不知道大家有没有从刚才的推算过程中看出这种估算方式的精髓。当我们需要估算某一个很难精确的数值的时候，不妨估计它的数量级入手。通过估计它的数量级代替精确值，最后估算出我们需要的结果的数量级，后来人们将这种估算方法称为费米方法。

 

 

我刚听说这个方法的时候有些不屑一顾，这种方法看起来非常不靠谱。因为在估算出最终结果之前，我们经过了多次假设和估算。如果每一次都存在一点偏差，那么最终的结果一定偏差得很大。怎么可能会接近正确答案呢？

 

其实在我们估算的过程当中，隐藏了一个非常重要的逻辑。那就是我们通过数量级的方法估算各种值的时候，一定有一些数量被我们高估了，也有一些数量被我们低估了。而在我们估算最终结果的时候，这些高估的误差和低估的误差经过互相抵消，使得并没有像我们设想的那样越偏越远，反而意外得接近真实的结果。

 

除了调音师的例子之外，还有一个经典的例子。假如我们面前有一棵树，我们怎么估算这棵树上有多少片叶子？我们一片片数显然不现实，这个时候我们就可以用费米方法做一个估算。

 

我们都知道树长树叶就是为了获得阳光进行光合作用，那么一棵树一共能获得多少阳光呢？我们可以假设树冠是一个球形，理想情况下，树被阳光照射到的面积就是这个半球（因为只有一半能照射到阳光）的面积。我们再拔下一片树叶，计算一下一片树叶的面积。最后将这两个数据一除，就能得到一棵树的树叶数量了。

 

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这样计算得到的结果当然不够精确，但至少能保证数据量级是对的。而生活当中的许多问题，一个比较近似的答案就已经足够。甚至精确答案根本不存在，或者需要的成本极大。

 

比如北京市需要多少汽车加油站？楼下的奶茶店一天究竟卖出了多少杯奶茶？全中国有多少失独老人？这些问题的答案当然是存在的，可是我们很难获得精确的答案，需要的成本极大。

 

还有些问题，可能我们根本就无法获得答案。比如人的手上有多少细菌？宇宙中有多少环境类似地球的行星？曾经地球上生活过多少人类？

 

面临这些问题的时候，显然我们无法直接求解，这个时候使用费米方法来估算就是非常有必要甚至是唯一的途径了。

 

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