计蒜客T42256硬币--题解

Posted 2021-03-19 huoshihongqwq

题面

题面
原题面：
小 B 面前的桌子上有 (n) 个硬币，(0) 表示正面，(1) 表示反面，只有当这 (n) 个硬币都是 (0) 朝上的时候这个他才能把这些钱收起来。现在他可以一个这样的操作来翻硬币，他选择一个 (x)，把 (1) 到 (x) 位置上的硬币都翻面，他现在想知道最少需要多少次操作能使所有硬币正面朝上

题目描述

给定一个长度为(n)的(01)串(s)，(s_i in { 0,1 })
每次可以选择一个(x)，使得([1,x])之间的所有元素反转，即(0 ightarrow 1,1 ightarrow 0)
问最少需要多少次可以把所有的元素变为(0)。

输入格式

第一行：一个非负整数(n)，表示串(s)的长度。
第二行：串(s)，第(i)个字符表示(s_i)

输出格式

输出最小的操作次数。

样例输入(1)

4
1001

样例输出(1)

3

样例输入输出(1)解释

第一次操作：(x = 4)，串(s)变为(0110)
第二次操作：(x = 3)，串(s)变为(1000)
第三次操作：(x = 1)，串(s)变为(0000)
可以证明，最小需要(3)次可以将(s)中所有元素变为(0)。且没有一种方案比这种方案更优。

样例输入(2)

5
10010

样例输出(2)

3

样例输入输出(2)解释

第一次操作：(x = 4)，串(s)变为(01100)
第二次操作：(x = 3)，串(s)变为(10000)
第三次操作：(x = 1)，串(s)变为(00000)
可以证明，最小需要(3)次可以将(s)中所有元素变为(0)。且没有一种方案比这种方案更优。

数据规模与约定

对于(30\%)的数据：(1 leq n leq 20)
对于另(20\%)的数据：所有(s_i)都相等
对于(100\%)的数据：(1 leq n leq 10^6)

题解

慢慢挖掘题目性质。
性质1：答案与操作的顺序无关
证明：
显而易见，无需证明

设(p_i)为(s)转化成目标串的过程中，(s_i)被反转的最小次数
(p_i)一定是非负整数

性质2：
当(s_i = 0)时，(p_i)一定是偶数；
当(s_i = 1)时，(p_i)一定是奇数；
证明：
显然，不用证明。

性质3：(p_1)就是(s)转化为目标串的最小操作次数
证明：
由于每次操作都是([1,x])，都动了(s_1)。
所以(s_1)被反转的次数就是转化为目标串的最小次数。

性质4：(forall p_i geq p_{i + 1} (1 leq i leq n))，即(p)单调不增
证明：
对于(i,j)，(i < j)
则(p_i geq p_j)
因为每次动到(j)的时候，(i)肯定被动到了。
所以(p_i geq p_j)
即，(p)单调不增。
***
性质5：(max _{1 leq i leq n} { p_i} = p_1)
证明：
由性质4得来。

结合以上所有性质。
目标是要求操作次数最小，所以就是要求(p_1)最小。
要求(p_1)最小，由于性质5，所以目标就是要求这个序列(p)尽量小。
这样才能保证最大的最小。

因为(p_i)是非负整数，我们考虑倒推。
并且要保证不破坏以上所有性质。
当(s_n = 0)时，显然，(p_n = 0)
当(s_n = 1)时，显然，(p_n = 1)
我们开始递推：
对于第(i (1 leq i leq n-1))位
如果(s_i = s_{i+1})，则，(p_i = p_{i+1})
如果(s_i ot ={s_{i+1}})，则，(p_i = p_{i+1} + 1)
***
综上，递推完之后，(p_1)就是答案。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000000
int p[maxn + 10];
int main()
{
    int n;
    string s;
    cin>>n>>s;
    if(s[s.size() - 1] == '0')
    {
        p[s.size() - 1] = 0;
    }else
    {
        p[s.size() - 1] = 1;
    }//判断最后一位
    for(int i = s.size() - 2;i >= 0;i--)//倒推
    {
        if(s[i] == s[i + 1])
        {
            p[i] = p[i + 1];
        }else
        {
            p[i] = p[i + 1] + 1;
        }//递推公式
    }
    cout<<p[0];//输出第一个的p
    return 0;
}

复杂度(Theta (n))