二元隐函数 数值求解

Posted 2021-03-19 ksongking

我写了一个 对 二元隐函数 数值求解 的 程序   。

 

二元隐函数 就是一个 二元方程，  就是 一个方程 有 2 个 未知数，  把 未知数 看作 变量，  那 二元方程 就是 二元隐函数  。

一个未知数 看作 自变量，   另一个 未知数 看作 因变量   。

我们把 自变量 统称为 x，   因变量 统称为 y    。

这样，   二元隐函数 可以 表示成 ：      y = f ( x, y )   ，  或者    x = f ( x, y )   ，    或者    f ( x, y ) = C ,   C 为 常量    。

 

比如，  我们可以看看 一个 极坐标系 的 二元隐函数 ：    ρ = tan ( θ + ρ )    ，   θ 为 自变量，  ρ 为 因变量   。

也可以写成 ：           y = tan ( x + y )       。

 

对 二元隐函数 求解 就是 求 当 x = 某值 时，   y 的 值 是多少   。

我写的 程序 默认就是 对    y = tan ( x + y )    这个 二元隐函数 求解 的 ，   效果如下 ：

 

 

 

 

 

 

x 表示 当 x = 某值 时 的 x，   就是 求 这个 x 对应 的 y   。

y 初始值 表示 数值求解 用于 匹配 的 y 的 初始值 ，    记为   y?   。

 

数值求解 的 算法 是这样，   记 y 的 初始值 为 y?，   从 y? 开始，  用 y? 加上 一定 的 步长， 得到一个 y 值， 记为 y1， 把  y1 和 x 代入 方程，  计算得出 方程 等式两边 的 值，   然后求 等式两边 的 值 的 差 的 绝对值，  记为 diff   。    如果 diff 很小，  说明 等式两边 相差小，  则  y1  比较符合 x 对应 的 y，  即  y1  比较接近 理论解 。

如果 diff  很大，  说明 等式两边 相差大，  则  y1  不太符合 x 对应 的 y，  即  y1  比较远离 理论解    。

所以，   所以， diff 也表示计算精度 。 diff 越小，计算精度越高， diff 越大，计算精度越低 。

 

上述过程 称为 一个步长 的 匹配，  在完成一个步长的 匹配 后，  计算机 会 增加一个 步长， 即 让 y? 加上 2 个步长，   即 ：

 

y2 = y? + 步长 * 2

 

把 y2 和 x 代入方程，  求 diff，   这和  y1 的 过程 一样  ，    同理，    求

 

y3 = y? + 步长 * 3

y4 = y? + 步长 * 4

y5 = y? + 步长 * 5

……

 

的 diff，    diff 最小 的 yn  就是  最终输出 的 解 。

 

而 求多少个 yn 呢？  这由 步数 决定，  比如 可以设定 步数 为 10， 或者  100  等等    。

 

这样 求出来 的 解 还是 很粗略 的，  为了 提高 解 的 精度，  可以 设定 一个 新的 步长 和 步数，  再进行一轮 匹配   。

新一轮 的 步长 通常 比 上一轮 小，    表示 更 精细 的 匹配    。

用 上一轮 的 解（上一轮 中 diff 最小的 yn） 作为 下一轮 的 初始值  y?    。

 

这样 经过 若干轮 匹配 之后，   得到 的 解 就 比较 精确 了  ，  或者说 diff 很小   。

 

这个算法 称为   跨越逼近法，  又称为   离散统计逼近法    。

这个算法 的 时间复杂度 是    O ( 第 1 轮 步数 + 第 2 轮 步数 + …… + 第 n 轮 步数 )    。

 

如果 进行 9 轮 匹配，  每轮 步数 是 10，   则 时间复杂度 是  O ( 9 * 10 ) =  O ( 90 )      。