JZOJ3799青蛙神

Posted 2021-03-19 stoorz

题目

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/3799

思路

如果一个数是完全平方数，当且仅当它分解质因数后，每一个质因数的质数均为偶数。
由于(nleq 90)，所以最多有(24)个质数。考虑状压。
所以我们预处理出(prmS[x])表示数字(x)分解质因数后，指数为奇数的质因数集合。
设(f[x][S])表示处理到(DAG)中的点(x)，终点为(x)的所有路径中，有多少条指数为奇数的质数集合为(S)的路径。
由于是一张(DAG)，所以不用担心一条路径走过一条边两次。
那么对于(DAG)中的每一条边((y,x))，我们有
[f[x][S xor prmS[x]]=sum^{(y,x)}_{y}f[y][S]]
答案是(sum^{n}_{i=1}f[i][0])。
这个算法的时空复杂度均为(O(n2^m))，空间会炸。
我们发现，其实所有大于(frac{90}{2})的质数都是没有用的，因为在(1sim n)中，含有该质因子的数就只有这个质数本身，所以如果一条路径包含这个点，那么这条路径必然会有一个质因子的质数为1。
也就是说，大于(frac{90}{2})的质数我们都可以根本不用在图中出现，直接删去这个点即可，因为这个点不会造成任何贡献。
那么有用的质因数就只有(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43)这(14)个了。
这样时空复杂度就降到了(O(n2^{14}))，可以过掉本题。

代码

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100,M=8010,MAXN=(1<<14);
const int prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43};
int n,m,tot,head[N],prmS[N],in[N];
ll ans,f[N][MAXN];

struct edge
{
    int next,to;
}e[M];

void add(int from,int to)
{
    e[++tot].to=to;
    e[tot].next=head[from];
    head[from]=tot;
}

void topsort()
{
    queue<int> q;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (!in[i]) q.push(i);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        f[i][prmS[i]]=1;
    while (q.size())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            for (int j=0;j<MAXN;j++)
                f[v][j^prmS[v]]+=f[u][j];
            in[v]--;
            if (!in[v]) q.push(v);
        }
    }
}

int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (x==47||x==53||x==59||x==61||x==67||x==71||x==73||x==79||x==83||x==89) continue;
        if (y==47||y==53||y==59||y==61||y==67||y==71||y==73||y==79||y==83||y==89) continue;
        add(x,y); in[y]++;
    }
    for (int i=2;i<=n;i++)
        for (int p=i,j=1;prime[j]<=p && j<=14;j++)
            if (!(p%prime[j]))
            {
                bool cnt=0;
                for (;!(p%prime[j]);p/=prime[j]) cnt^=1;
                if (cnt) prmS[i]|=(1<<j-1);
            }
    topsort();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (i!=47&&i!=53&&i!=59&&i!=61&&i!=67&&i!=71&&i!=73&&i!=79&&i!=83&&i!=89)
            ans+=f[i][0];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}