一类树上问题的总结

Posted 2021-03-19 lnzwz

有时，我们会遇到这样的问题：
在一个树上选定一些点，每个点能覆盖一定范围的点……之类
比如：

• CF70E Information Reform
• P4845 LJJ爱数树
• P3267 [JLOI2016/SHOI2016]侦察守卫

通常，我们有两种做法：

方法一：我们对于每个点，考虑距离它最近的被选点

需要先证明一个显然的结论：对于每个i，以i为最近点的j是一个连通块。

换句话说，如果距离a的最近被选点为i，距离b的最近被选点也是i，那么a到b的路径上的点的最近被选点都是i。
考虑一条链：设Ax是链上第x个点，那么点y到Ax的距离fy(x)随x的增加，先下降，再上升。（这个显然）。
那么假设a到b路径上的c，最近点不是i而是j。
那么，(dis(a,i)<dis(a,j)，dis(c,i)>dis(c,j)，dis(b,i)<dis(b,j))。
就是说(fi)和(fj)有两个交点。但这是不可能的。
所以，如果距离a的最近被选点为i，距离b的最近被选点也是i，那么a到b的路径上的点的最近被选点都是i一定成立。

这样，这样，我们设(dp(i,j))表示i的最近点是j的状态。
（如果需要，再维护(f(i))表示(dp(i,j))的最小值。）
那么，对于i的每个儿子v，枚举它的最近点a，则转移到(dp(v,a))。
注意，如果(j=a)，那么对于v来说，a已经选择过了，则转移时把选j的影响去掉。

由于形成连通块，正确性可以保证。

优点：适用范围较广，非常好写。
缺点：复杂度至少为(O(n^2))。

方法二：维护子树信息

对于每个子树，有2种信息：