递推公式法解决约瑟夫问题

Posted 2021-03-18 zhouyijoe

约瑟夫问题的描述: n个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报m的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的幸存者的编号(编号从零开始)。

 

 

如果需要知道每一轮被杀掉的人的编号的话，最好的方法可能是使用链表。不过如果只需要知道最后幸存者的编号的话，链表法的时间复杂度是无法接受的，使用递推公式解决这题会快很多。

 

递推公式百度一下你就知道，但关键是这个递推公式是如何推导出来的呢？

 

我们的目的当然是希望能用m和n表示出最后的幸存者的编号，但不幸的是这很难直接办到。但是用m和n表示出第一个被杀掉的人的编号并不难。那么如何表示呢？请大家先思考一下，忍住不要往下看~

 

↓从此处开始一光年↓

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

如果你的答案是(m - 1) mod n的话，那么你是对的！这个答案应该不难理解。

(注:mod表示取余)

 

 

现在我们已经杀掉一个人了，那么就还剩n - 1个人。因为我们是在找递推关系，所以如果能找到n个人的情况与n - 1个人的情况之间的关系的话，递推公式就出来了。而现在刚好圆圈里剩下n - 1个人，就意味着我们接下来需要重点分析这剩下的n - 1个人。

 

根据第一个被杀掉的人的编号，我们可以用m和n表示出其他人的编号，如下图。

 

接下来让我们对每个人重新编号。我们把第二轮报数中第一个报数的人，也就是第一个被杀死的人后面的那个人，重新编号为0，后面的人依次为1,2,3....。

 

 

哈哈。接下来仔细一看，问题不就已经被转换成了: n - 1个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报m的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的幸存者的编号(编号从零开始)。除了“n个人”变成了“n - 1个人"以外，其他条件完全没变。

 

另外，我们也不难观察出新编号和旧编号之间的关系。容易观察出，如果一个人的新编号是i的话，那么他的旧编号就是(m + i) mod n。

 

到了现在，我们已经可以很轻松地推导出递推公式了。我们定义这样一个函数f(x,y) : f(x,y)表示当约瑟夫问题中的n = x,m = y时幸存者的编号。回到上面n - 1个人的情况，显然，幸存者的新编号就是f(n - 1,m)，那么根据我们刚刚发现的新编号与旧编号之间的关系，就可以得出幸存者的旧编号是(m + f(n - 1,m)) mod n，这个不正好就是我们所寻找的递推关系嘛？

 

就讲到这里吧。至于具体如何用这个递推公式解决约瑟夫问题，太简单了，就留给你们自己想a.a