置换群(等价类计数)

Posted 2021-03-18 mikufun-hzoi-cpp

一.定义

• 群

??群是啥？？？我不会啊

• 置换((g))

??一个置换是一种运算，代表让物体交换位置的一种方法

• 置换群((G))

??顾名思义，由置换构成的群

• k不动置换类((Z_k))(稳定化子)

??使元素 (k) 不改变位置的群的集合

• 等价类((E_k))(轨道)

??在置换群 (G) 作用下元素 (k) 的运动轨迹(一些点的集合)

• 循环((h_g))

??在置换 (g) 作用下产生的循环

• 轨道-稳定化子定理

[|E_k| imes|Z_k|=|G|]
??证明：不会

• burnside引理

[L=frac{1}{|G|}sum c_i(c_i表示在置换i下不变的元素个数)]

??由轨道-稳定化子定理可知，|G|可以表示一个等价类中所有元素的 (Z_k) 之和

??则有[L imes|G|=sum_{i=1}^n|Z_i|]

??而根据定义，我们有[sum_{i=1}^n|Z_i|=sum_{k=1}^{|G|}c_i]

??则[L=frac{1}{|G|}sum c_i]

• polya定理

[L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}m^{h_i}(m为颜色数)]

??只适用于对颜色没有位置限制的情况

??可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 (burnside) 引理是一样的

二.例题

• 1.大部分置换群的题都是套着 (burnside) 皮的 (dp),这里不加赘述

[bzoj1851]color有色图

?题意描述：一张n个节点的完全图，用m种颜色给边染色，对于点编号的交换同构，问有多少种不同的染色方案

?查姆讲的太好啦群论之神的博客