P4859 已经没有什么好害怕的了

Posted 2021-03-18 nofind

题意

设(a_i)表示第(i)个糖果的能量，(b_i)表示第(i)个药片的能量

首先可以得出满足条件时，(a>b)的对数为(frac{n+k}{2})。

因为恰好为(i)的方案数不好求，我们先求出至少为(i)的方案数，之后用二项式反演求出答案。

先将(a,b)从小到大排序。

设(h_{i,j})表示前(i)个糖果，至少选了(j)对(a>b)的方案数，(cnt_i)表示比第(i)个糖果小的药片数目。

有：
(h_{i,j}=h_{i-1,j}+(cnt_i-(j-1))*h_{i-1,j-1})

设(f_i)表示恰好(i)对(a>b)的方案数，(g_i)表示至少(i)对(a>b)的方案数。

显然有(g_i=f_{n,i}*(n-i)!)，之后二项式反演即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2010;
const int mod=1e9+9;
int n,m,ans;
int a[maxn],b[maxn],cnt[maxn],g[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
int f[maxn][maxn];
inline int power(int x,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=1ll*res*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
    }
    return res;
}
inline int C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if((n+m)&1){puts("0");return 0;}
    m=(n+m)>>1;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=power(fac[n],mod-2);
    for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
    {
        while(b[j+1]<a[i]&&j<n)j++;
        cnt[i]=j;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+1ll*max(0,cnt[i]-(j-1))*f[i-1][j-1]%mod)%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=1ll*f[n][i]*fac[n-i]%mod;
    for(int i=m;i<=n;i++)
        if((i-m)&1)ans=(ans-1ll*C(i,m)*g[i]%mod+mod)%mod;
        else ans=(ans+1ll*C(i,m)*g[i]%mod)%mod;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}